Mathematische Begriffe

Änderungsrate
Sei f eine auf einem Intervall [a, b] ⊂ ℝ erklärte und dort stetige Funktion. Sei ferner x₀, x ∈∈ [a, b] mit x ǂ x₀. Dann heißt

f(x) − f(x₀)/x − x₀

„Änderungsrate (oder Differenzenquotient) von f “. Dieser Quotient ist ein Maß für die Änderung der Funktionswerte von f zwischen x₀ und x, und zwar relativ zu |x − x₀|. Ist f in x₀ nicht nur stetig, sondern auch differenzierbar, so strebt der Differenzenquotient für x → x₀ gegen den Differentialqotienten

f’(x₀) = limx → x₀
x ǂ x₀ f(x) − f(x₀)/x − x₀.

Diese zentrale Formel der Differentialrechnung wird im Kapitel Änderungsrate zunächst anschaulich vorgestellt und danach mathematisch streng hergeleitet.

Stichworte: Steigungsfaktor, Durchschnittsgeschwindigkeit, Tangentenproblem, Differentialquotient, Rechnen mit Beträgen, Zahlenfolgen, Grenzwertsätze, Umgebung, Stetigkeit, Satz vom Minimum und Maximum, Zwischenwertsatz, Differenzierbarkeit, Satz von Rolle, Ableitungsregeln, Mittelwertsätze

Äquivalenzrelation
Auf der Grundlage der Menge der natürlichen Zahlen ℕ = { 0, 1, 2, ... } lassen sich weitere Zahlenmengen, nämlich ℤ, ℚ, u.s.w. auf eine ganz eigentümliche Art konstruieren. Der zentrale Begriff, mit dessen Hilfe diese Konstruktionen möglich sind, ist der Begriff Äquivalenzrelation. Auch in anderen Zusammenhängen ist dieser Begriff wichtig. Eine Menge M, auf der eine Äquivalenzrelation ~ definiert ist, zerfällt sozusagen von selbst in paarweise disjunkte Teilmengen M_i, und zwar so, dass für je zwei Elemente x und y einer Teilmenge M_i stets x ~ y gilt. Das Umgekehrte ist ebenfalls richtig: Jede Zerlegung einer Menge M induziert in natürlicher Weise eine Äquivalenzrelation auf M. Beide Aussagen werden im Kapitel Äquivalenzrelation bewiesen.

Stichworte: Transitivität, Symmetrie, Reflexivität, Zerlegung, Quotientenmengen, Äquivalenzklassen, Repräsentant, Restklassen, Pfeilklassen

Algorithmus
Ein Algorithmus besteht aus einer Folge von Anweisungen, nach denen man unter Vorgabe von Eingangsdaten eine bestimmte Ausgabe erhält. Im Kapitel Algorithmus findet man sowohl eine präzisere Beschreibung dieses Begriffs als auch Beispiele solcher Anweisungsfolgen, angefangen beim Abakus bis hin zur Schickard’schen Rechenmaschine, gefolgt von einem mit JavaScript programmierten Algorithmus zur Umrechnung von Zahlen. Der letzte Abschnitt des Kapitels hat die Turingmaschine zum Gegenstand. Die von Alan Turing (1912−1954) entwickelte und nach ihm benannte Turing machine ist ein mathematisches Modell eines Universalrechners. Man geht davon aus, dass es grundsätzlich keine Rechenmaschine geben kann, die rechenmächtiger ist als die Turingmaschine.

Stichworte: Abakus, Napier’sche Rechenstäbe, Gelosia-Methode, Schickard’sche Rechenmaschine, Darstellung von Zahlen, Stellenwertsystem, Imperatives Programmieren, Turingmaschine

Ebene
Euklid forderte mit den ersten beiden seiner fünf Postulate im I. Buch der Elemente, dass „man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen“ und dass „man eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern kann“. Auf Euklids Ebene, die man sich als ein flaches, unbegrenztes und nicht gekrümmtes Gebilde vorstellen kann, lassen sich aufgrund gewisser Regeln geometrische Objekte zeichnen und konstruieren. Dagegen haben die Axiome von David Hilbert (1862−1943), die grundlegend für die Geometrie sind und im Kapitel Ebene der Reihe nach vorgestellt werden, nicht von vornherein einen anschaulichen Bezug. Jede geometrische Aussage darf nicht ad hoc (weil man es „so sieht“) akzeptiert, sondern muss auf axiomatischer Basis bewiesen werden.

Stichworte: Ebene Inzidenzaxiome, Lineare Anordnungsaxiome, Axiom von Pasch, Satz von Moore, Lineare Kongruenzaxiome, Ebene Kongruenzaxiome, Nebenwinkel, Kongruenzsätze, Crossbar-Theorem, Basiswinkelsatz, Hilbertebene, Satz vom Außenwinkel, Parallelen, Streckenlängen, Winkelweiten, Strahlensätze, Kreise, Die kartesische Ebene

Fläche
Die Formel zur Bestimmung des Flächeninhalts eines Rechtecks mit der Breite a und der Höhe b ist einfach: A = a·b. Nicht ganz so einfach ist es, zu beweisen, dass diese Formel für alle Rechtecke gültig ist. Um die Flächeninhalte von irgendwelchen (einfachen) Polygonen bestimmen zu können, wird eine Abbildung benötigt, die jedem Polygon bzw. dessen Fläche eine positive reelle Zahl eindeutig zuordnet. Im Kapitel Fläche geht es unter anderem um diese Abbildung (dem so genannten Flächenmaß) und deren Eigenschaften. Ein Flächenmaß setzt voraus, dass man Streckenlängen messen kann. Es ist allerdings sinnvoll, auch ohne die Messbarkeit von Längen von dem Inhalt von Flächen zu sprechen. Die zentralen Begriffe sind dann Zerlegungsgleichheit und Inhaltsgleichheit von Polygonflächen.

Stichworte: Rechteckflächen, Flächen- und Längeneinheiten, Der Meter, Einfache Polygone, Zwei-Ohren-Theorem, Polygonflächen, Flächenmaß, Fläche eines Dreiecks, Fläche eines Parallelogramms, Isometrien, Zerlegungsgleichheit und Inhaltsgleichheit, Satz von Bolyai-Gerwien, Satz des Pythagoras

Funktion
Leonhard Euler (1707−1783) verstand unter einer Funktion einer veränderlichen Größe einen analytischen Ausdruck, der irgendwie aus der veränderlichen Göße und aus Zahlen oder konstanten Größen zusammengesetzt ist. Wenn man dieses in die heutige mathematische Sprache übersetzt, denkt man am ehesten an Funktionsterme wie beispielsweise 2·π·r für den Umfang eines Kreises in Abhängigkeit vom Kreisradius r. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805−1859) gab die Vorstellung von zwei unbedingt gesetzmäßig miteinander verknüpften Größen ganz auf und sprach von einer Funktion bereits dann, wenn zu jedem Wert einer veränderlichen Größe x innerhalb eines bestimmten Intervalls genau ein endlicher Wert von y gehört. An der Dirichlet’schen Auffassung des Funktionsbegriffs hat sich von der Idee her nichts geändert. Dem entsprechend werden die Begriffe „Abbildung“ und „Funktion“ im Kapitel Funktion in heute üblicher Weise definiert.

Stichworte: Schaubild, Proportionalität, Funktionsgleichung, Quadratische Funktion, Exponentielle Funktion, Parameter, Polarkoordinaten, Abbildung, Plimpton 322, Umkehrfunktionen

Menge
Wenn gewisse Objekte x eine gemeinsame Eigenschaft E haben, liegt es nahe, all diese einzelnen Objekte zu einer „Menge“ zusammenzufassen. In formaler Schreibweise:

M_E =_def { x | E trifft zu auf x }.

Diesen Vorgang der Mengenbildung nennt man Komprehension. Das sogenannte Komprehensionsprinzip, welches besagt, dass man diese Art der Mengenbildung immer vornehmen kann, führt in der „naiven“ Mengenlehre zu logischen Widersprüchen. Ernst Zermelo (1871−1953) hat eine axiomatisch begründete Theorie entwickelt mit dem Ziel, diese Widersprüche auszuschließen. Spätere Ergänzungen von Zermelos Prinzipien  führten schließlich zum Zermelo-Fraenkel’schen Axiomensystem mit Auswahlaxiom (Axiom of Choice), in der mathematischen Literatur abgekürzt mit ZFC. Das Kapitel Menge ist eine Einführung in die Grundlagen der Mengenlehre auf der Basis von ZFC.

Stichworte: Nicht-axiomatische Mengenlehre, Verknüpfungstafeln, Antinomien, Zermelo-Fraenkel’sche Axiome, Relationen und Funktionen, vonNeumann’sche Zahlen, Rekursionssatz für ω, Endliche Mengen, Fundierte Strukturen, Ordinalzahlen, Satz von Hartogs, Wohlordnungssatz, vonNeumann’sche Hierarchie, Mächtigkeiten, Kardinalzahlen

Reihe
Im vom indischen Mathematiker und Astronom Nīlakaṇṭha Somayājī um 1500 geschriebenen Werk Tantrasaṅgraha findet sich eine von Mādhava etwa 100 Jahre zuvor entdeckte Anleitung zur Berechnung der Kreiszahl π, in heutiger Schreibweise:

π/4 =  1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − 1/11 + −...

Es ist eine der verblüffendsten und schönsten Formeln der Mathematik: π ist nach dieser Formel darstellbar mit einer alternierenden und nicht abbrechenden Summe aller Bruchzahlen mit ungeraden Nennern. Der Beweis der Formel von Mādhava setzt Kenntnisse voraus, die im Kapitel Reihe vermittelt werden.

Stichworte: Mādhava-Leibniz-Reihe, Summenfolge, Geometrische Reihe, Euler'sche Reihe, Exponentialreihe, Konvergenzkriterien, Gleichmäßige Konvergenz, Potenzreihen, Taylorpolynome und Taylorreihen, Nicht-algebraische elementare Funktionen

Rückkopplung
Man nimmt eine Figur, steckt sie in eine Verkleinerungsmaschine und erhält eine um den Faktor k verkleinerte Figur; man nimmt die um den Faktor k verkleinerte Figur, steckt sie in dieselbe Verkleinerungsmaschine und erhält so durch eine einfache  Rückkopplung  ein recht einfaches und eher langweiliges Resultat:

eine Folge von gleichmäßig kleiner werdenden  selbstähnlichen  Figuren. Hieraus kann jedoch nicht der Schluß gezogen werden, dass ein einfacher Rückkopplungsprozess („was hinten rauskommt, wird vorn wieder reingesteckt“) immer einfache Ergebnisse liefert. Das Kapitel Rückkopplung bietet einen kurzen Einblick in einige interessante Rückkopplungsprozesse.

Stichworte: Chaos im Reellen, Chaos im Komplexen, Mandelbrotfolgen

Vektor
Die physikalischen Größen Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung, Impuls und viele andere gehören zu den „gerichteten Größen“, die durch Betrag und Richtung charakterisiert sind. Gerichtete Größen können als Vektoren aufgefasst werden, die in anschaulicher Weise durch Pfeile repräsentiert werden. Im allgemeinen Sinne sind Vektoren Elemente eines Vektorraumes über einem Körper K. Ist (V,+) eine Abel’sche Gruppe mit einer additiven Verknüpfung „+“: VxV → V, so versteht man unter einem K-Vektorraum eine algebraische Struktur (V,K,·) mit einer äußeren multiplikativen Verknüpfung „·“: KxV → V, für die bestimmte Rechenregeln gelten. Das Kapitel Vektor vermittelt einige grundlegende Kenntnisse über das Rechnen mit Vektoren und deren Anwendung.

Stichworte: Skalare Größen, Gerichtete Größen, Pfeilklassen, K-Vektorräume, Ortsvektoren, Skalarprodukt, Normalenvektor, Euklidische Vektorräume, Kreuzprodukt, Skalare Felder, Vektorfelder

Verhältnis
Bildet man den Quotienten aus zwei Zahlenwerten oder aus zwei Größen, um vergleichbare Dinge zueinander in Beziehung zu setzen, so nennt man diesen Quotienten „Verhältnis“. Viele physikalische Größen sind definiert als Verhältnis zweier verschiedener Größen, so zum Beispiel die Dichte ρ als Verhältnis der Masse eines homogenen Körpers zu seinem Volumen. Setzt man zwei Verhältnisse einander gleich, so erhält man eine Verhältnisgleichung. Solche, etwa für die Prozentrechnung, innerhalb der Geometrie oder in der Physik wichtigen Verhältnisgleichungen sind Gegenstand des Kapitels Verhältnis. Das vielleicht schönste Verhältnis wird von der den goldenen Schnitt charakterisierenden Verhältnisgleichung geliefert.

Stichworte: Säulendiagramme, Prozentrechnung, Brechungsgesetz von Snellius, Harmonische Punkte, Musikalische Intervalle, Proportionen, Der goldene Schnitt, Pentagramm, Lucas-Folgen, Kettenbrüche

Vollständige Induktion
Der wesentliche Inhalt des Kapitels Vollständige Induktion besteht im Beweis aller Rechenregeln, die in der Menge der natürlichen Zahlen (ℕ) gelten, sowie dem Beweis, dass ℕ wohlgeordnet ist. Allen diesen Beweisen liegt das Prinzip der vollständigen Induktion zugrunde. Sei mit „E(n)“ irgendeine Aussage bezeichnet, die in Abhängigkeit von n ∈∈ ℕ formuliert werden kann. Wenn „ℰ(n)“ die Abkürzung für „Die Aussage E(n) ist wahr“ bedeutet, dann lautet das Induktionsprinzip wie folgt:

Gilt für m ∈∈ ℕ

(i)   ℰ(0) und
(ii)  ℰ(m) ⇒ ℰ(succ(m)),

so folgt: ℰ(n) für alle n ∈∈ ℕ.

Stichworte: Peano’sche Axiome, Prinzip der vollständigen Induktion, Kette, Geordnete Mengen, 2-stellige Operation, Addieren und Multiplizieren natürlicher Zahlen, Dezimalzahlen, Binomischer Lehrsatz, Ungleichung von Bernoulli, Turm von Hanoi

Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsaussagen beziehen sich zwar immer auf einzelne zukünftige Ereignisse als mögliche Resultate eines Zufallsexperimentes, sind aber nur dann sinnvoll, wenn sie auf Beobachtungen beruhen, die während einer sehr großen Zahl von Durchläufen des gleichen Zufallsexperimentes zuvor gemacht worden sind. Das Kapitel Wahrscheinlichkeit beinhaltet die Regeln, nach denen Wahrscheinlichkeitswerte berechnet werden können. Die Grundformel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang von Laplace-Experimenten ist besonders einfach. Für jedes Ereignis E eines solchen Experimentes gilt

P(E) = |E|/|S|.

Hierbei ist |E| die Anzahl der Elemente in der Ereignismenge E und |S| die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge S.

Stichworte: Ereignis, Häufigkeit, Zufallsexperiment, Venn-Diagramme, Kolmogorow'sche Axiome, Additionssätze, Multiplikationssatz, Kombinatorik, Binomialkoeffizient, Lotto, Zufallsvariablen, Baumdiagramm, Nadelproblem von Buffon

Zahlen
Wir können Zahlen in verschiedensten Zusammenhängen nutzen, wir können sie auf unterschiedliche Weise darstellen und wir können unter Beachtung von Rechenregeln Eigenschaften von Zahlen auf logische Art schlussfolgern, ohne zu wissen, was Zahlen „eigentlich“ sind. Wenn man bei einer Zahl von ihrer Bedeutung, von ihren Eigenschaften und von ihrer Darstellung absieht, was bleibt dann? Alle, die sich um den Begriff der Zahl Gedanken gemacht haben, starten zunächst mit der Frage: Was ist eine natürliche Zahl? Oder in alter Sprechweise: Was ist eine „ganze“ Zahl? Richard Dedekind (1831−1916) war der Erste, dem es gelang, die Gesamtheit der natürlichen Zahlen durch die Aufstellung von vier Bedingungen vollständig zu charakterisieren. Im Kapitel Zahlen wird gezeigt, wie Schritt für Schritt und aufeinander aufbauend die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ und ℂ definiert werden können. Im Kapitel Menge kann man darüber hinaus lernen, dass und wie der Begriff der Zahl mittels der vonNeumann’schen Zahlen auf den Mengenbegriff zurückgeführt werden kann.

Stichworte: Natürliche Zahlen, Ganze Zahlen, Irrationale Zahlen, Algebraische Struktur, Rationale Zahlen, Trichotomie, Absolutbetrag, Reelle Zahlen, Cauchyfolge, Metrischer Raum, Archimedisch angeordnete Körper, Vollständigkeit, Satz von Bolzano-Weierstraß, Intervallschachtelung, Transzendente Zahlen, Komplexe Zahlen