Gruppe
verwendet in: Zahlen/ Die Menge der ganzen Zahlen
Sei G eine nichtleere Menge und ▪ eine zweistellige Verknüpfung auf G.
Wenn für alle Elemente a, b, c einer Menge G die folgenden Gesetze gelten, dann nennt man (G,▪) eine Gruppe.
(i)+ a ▪ (b
▪ c) = (a ▪ b) ▪ c.
(ii)+ Es existiert e ∈∈ G
mit e ▪ a = a.
(iii)+ Zu jedem a ∈∈
G gibt es ein a* ∈∈ G
mit a* ▪ a = e.
e heißt das neutrale Element von G. Es ist eindeutig bestimmt. Das jeweilige a* nennt man inverses Element von a (oder kurz: das Inverse von a). Zu jedem a ∈∈ G gibt es genau ein Inverses.
Wenn zusätzlich das Kommutativgesetz
(iv)+ a ▪ b = b ▪ a
gilt, dann ist G eine Abel’sche Gruppe (oder: eine kommutative Gruppe). Versteht man unter einer Gruppe eine algebraische Struktur, dann wird diese unter Verwendung der oben definierten Symbole durch das Quadrupel (G,▪,e,*) bezeichnet.
(ℤ,+,0,−) ist eine additive Abel’sche Gruppe; (ℚ\{0},·,1,−1) ist eine multiplikative Abel’sche Gruppe.
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