Zahlen

Bedeutung und Eigenschaften von Zahlen

Zahlen begegnen uns in vielfältiger Weise: etwa als Anzahlen (eine Woche besteht aus sieben Tagen; die Zahl 30 hat acht Teiler), als Prozentzahlen (der menschliche Körper besteht zu 60 bis 75 Prozent aus Wasser), als Verhältniszahlen (hat ein Autofahrer eine Strecke von 120km in einer Zeit von 2 Stunden zurückgelegt, so betrug seine durchschnittliche Geschwindigkeit 120km/2h = 60km/h), als Richtzahlen (der tägliche Bedarf an Vitamin C liegt - laut der Deutschen Gesellschaft für Ernährung - für Erwachsene zwischen 90 und 110 Milligramm), als Seitenzahlen (1, 2, 3, ...).

Alle eben genannten Zahlen sind natürliche Zahlen (also weder negative Zahlen noch „Kommazahlen“) und dargestellt als Dezimalzahlen, das heißt hingeschrieben mit Hilfe der Zahlzeichen „0“, „1“, ... „9“ unter Verwendung der Zahl 10 als Basis. Die zehn Zahlzeichen dieses Dezimalsystems werden Dezimalziffern genannt.

Ein Beispiel:

40075 = 5·10⁰ + 7·10¹ + 4·10⁴.

Auf diese Weise kann im Prinzip jede natürliche Zahl hingeschrieben werden (→ Beweis), „im Prinzip“ deshalb, weil die Zahlen der unendlichen Zahlenreihe 0, 1, 2, 3, ... irgendwann derart groß werden, dass ein Aufschrieb weder zeitlich noch räumlich möglich wäre. Neben dem - im Alltag üblicherweise benutzten - Dezimalsystem gibt es noch viele weitere Möglichkeiten zur Darstellung von Zahlen.

Einige natürliche Zahlen haben ganz besondere Eigenschaften, allen voran die Primzahlen. Das sind diejenigen natürlichen Zahlen, die genau zwei Teiler haben (nämlich 1 und sich selbst): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

Zu jeder natürlichen Zahl n, die größer als 1 ist, gibt es eindeutig bestimmte Primzahlen p₁, p₂, ..., p_j sowie eindeutig bestimmte und von 0 verschiedene natürliche Zahlen a₁, a₂, ..., a_j mit

n = p₁^a₁·p₂^a₂·...·p_j^a_j.

Kurz formuliert: Die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl n > 1 ist eindeutig bestimmt.

Es ist bemerkenswert: Wir können Zahlen in verschiedensten Zusammenhängen nutzen, wir können sie auf unterschiedliche Weise darstellen und wir können unter Beachtung von Rechenregeln Eigenschaften von Zahlen auf logische Art schlussfolgern, ohne zu wissen, was Zahlen „eigentlich“ sind. Wenn man bei einer Zahl von ihrer Bedeutung, von ihren Eigenschaften und von ihrer Darstellung absieht, was bleibt dann?

Alle, die sich um den Begriff der Zahl Gedanken gemacht haben, starten zunächst mit der Frage: Was ist eine natürliche Zahl? Oder in alter Sprechweise: Was ist eine „ganze“ Zahl?

Die Antwort Euklid’s vor fast 2500 Jahren lautete: „Μονάς ἐστιν, καθ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται. Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος“ (Die Elemente, VII. Buch, Definition 1 und 2), in der Übersetzung von Jürgen Kalkschmid: Einheit ist das, wonach jedes der existierenden Dinge eins genannt wird. Zahl aber ist die aus Einheiten zusammengesetzte Menge.

Diese zwei Aussagen klingen beinahe so, als seien sie eine Zusammenfassung dessen, was die Arithmetiker des frühen 19. Jahrhunderts lehrten. Beispielsweise heißt es im Lehrbuch der Arithmetik von J.B. Friederich aus dem Jahr 1831:

Unter der Einheit eines Dinges versteht man überhaupt das, wonach es Eins ist und als ein für sich Bestehendes betrachtet werden kann. ... Jedes Ding, das - sey es in der That oder bloß in unserer Vorstellung - einer Vermehrung oder Verminderung fähig ist, heißt eine Größe. ... Läßt sich eine Größe als eine Menge oder Vielheit einzelner abgesonderter und bestimmter Theile betrachten, die unter sich jede beliebige Verbindung und Ordnung haben können und wovon jeder einzelne Theil selbst wieder ein Ganzes vorstellt, so nennt man diese Größe eine zählbare oder diskrete. ... Nimmt man auf die Art und Beschaffenheit der Einheiten, aus welche eine zählbare Größe besteht, keine Rücksicht, setzt man z.B. drei, ohne dabei anzugeben, ob man unter dieser Größe drei Gulden oder Pfunde oder Ellen oder Meilen u.s.w. zu verstehen habe, so daß also von jeder Eigenschaft dieser Größe ... abstrahiert worden ist, so heißt diese Größe eine unbenannte oder abstrakte Größe. Ueberhaupt nennt man zählbare Größen, in so fern man bloß die in ihnen enthaltene Menge von Einheiten betrachtet, Zahlen.

Bernard Bolzano kommt in seinem erst posthum 1851 veröffentlichten Werk Paradoxien des Unendlichen (§3−§8) folgendermaßen zum Begriff der Zahl, wobei seine Argumentation hier stark verkürzt zitiert wird:

Einen Inbegriff [gewisser Dinge oder ein aus gewissen Teilen bestehendes Ganze], ... bei dem die Anordnung seiner Teile gleichgültig ist (an dem sich also nichts für uns Wesentliches ändert, wenn sich bloß diese ändert), nenne ich eine Menge; und eine Menge, deren Teile alle als Einheiten einer gewissen Art A, d. h. als Gegenstände, die dem Begriffe A unterstehen, betrachtet werden, heißt eine Vielheit von A. ... Denken wir uns eine Reihe, deren erstes Glied eine Einheit von der Art A ist, jedes nachfolgende aber aus seinem vorhergehenden auf die Weise abgeleitet wird, daß wir einen ihm gleichen Gegenstand nehmend, denselben mit einer neuen Einheit von der Art A zu einer Summe verbinden: so werden offenbar alle in dieser Reihe vorkommenden Glieder — mit Ausnahme des ersten, das eine bloße Einheit von der Art A darbietet — Vielheiten von der Art A sein und dies zwar solche, die ich endliche oder zählbare Vielheiten, auch wohl geradezu (und selbst mit Inbegriff des ersten Gliedes) Zahlen, bestimmter: ganze Zahlen nenne.

Ernst Schröder (1841−1902) nannte die Zahl ein „willkürlich geschaffenes Zeichen“, das als Mittel dient, vielfältige Zwecke zu erreichen, insbesondere den Zweck, Dinge zu zählen. In seinem Lehrbuch der Arithmetik und Algebra aus dem Jahr 1873 liest man im ersten Kapitel:

Ein solches Zeichen ist mitunter sehr verschiedenartiger, mitunter gar keiner Bedeutung fähig oder doch theilhaftig. Man unterwirft dasselbe willkürlich soviel Gesetzen als nothwendig und hinreichend sind zur Bestimmung der Eigenschaften desselben, um sodann durch Schlussfolgerungen diese übrigen Eigenschaften daraus abzuleiten. ...
Die Anforderung, Dinge zu zählen, kann vernünftigerweise nur gestellt werden, wo solche Gegenstände vorliegen, welche deutlich von einander unterscheidbar, zum Beispiel räumlich oder zeitlich von einander getrennt oder gegeneinander abgegrenzt erscheinen. ...
Als eine nahezu selbstverständliche Voraussetzung des Zählens muss ferner die angesehen werden, dass die Zählobjecte sowohl in ihrer Gesammtheit gegeben, als auch dass sie individuell bestimmte seien, d. h. man muss wissen, was eigentlich gezählt werden soll. ...
Zum Zählen von Dingen werden wir uns jedoch nur insofern veranlasst fühlen, als dieselben irgend etwas gemeinsames haben, etwas, wodurch sie sich uns in gleicher Weise als Objecte des Zählens darbieten oder empfehlen. ...
Wegen dieser also den Objecten der Zählung zugeschriebenen Gleichheit macht sich das Bedürfniss geltend, sie auch mit einem übereinstimmenden Namen allgemein zu benennen. Jedes der zu zählenden Dinge wird eine Einheit genannt. Von dem Begriff der Einheit können wir also uns erheben zu dem Begriff der Menge, indem wir die Vorstellungen von mehreren Einheiten in Gedanken verbinden (genauer: die Vorstellung einer Einheit mit derjenigen einer andern und der einer dritten Einheit u. s. w.) — wie wir auch umgekehrt von diesem Begriff zu jenem herabsteigen können, indem wir an einer Mannigfaltigkeit gleichartige Theile (als Einheiten) unterscheiden. ...
Um nun ein Zeichen zu erhalten, welches fähig ist auszudrücken, wie viele jener Einheiten vorhanden sind, richtet man die Aufmerksamkeit der Reihe nach ein mal auf eine jede derselben und bildet sie mit einem Strich: 1 (eine Eins, ein Einer) ab; diese Einer setzt man in eine Zeile nebeneinander, verbindet sie jedoch unter sich durch das Zeichen + (plus), da sonst zum Beispiel 111 nach der gewöhnlichen Zahlenbezeichnung als einhundertundelf gelesen würde. Man erhält auf diese Weise ein Zeichen wie: 1 + 1 + 1 + 1 + 1, dessen Zusammensetzung man dadurch beschreiben kann, dass man sagt: Eine natürliche Zahl ist eine Summe von Einern. ... Die natürliche Zahl ist [gewissermassen] eine Abbildung der Einheiten in Hinsicht ihrer Häufigkeit.

All diese Denkansätze wurden von Gottlob Frege (1848−1925) einer umfassenden Kritik unterzogen. In seiner detailreichen und gleichermaßen scharfsinnigen wie vergnüglich zu lesenden Abhandlung Die Grundlagen der Arithmetik kam er 1884 unter anderem zu folgenden Schlüssen (auszugsweise zitiert aus §45):

Die Zahl entsteht nicht durch Hinzufügung von Ding zu Ding. Auch die Namengebung nach jeder Hinzufügung ändert daran nichts.
Die Ausdrücke »Vielheit«, »Menge«, »Mehrheit« sind wegen ihrer Unbestimmtheit ungeeignet, zur Erklärung der Zahl zu dienen. ...
Die Abgegrenztheit, die Ungeteiltheit, die Unzerlegbarkeit sind keine brauchbaren Merkmale für das, was wir durch das Wort »Ein« ausdrücken.
Wenn man die zu zählenden Dinge Einheiten nennt, so ist die unbedingte Behauptung, daß die Einheiten gleich seien, falsch. Daß sie in gewisser Hinsicht gleich sind, ist zwar richtig, aber wertlos. Die Verschiedenheit der zu zählenden Dinge ist sogar notwendig, wenn die Zahl größer als 1 werden soll. ...
Es ist ein Unterschied zwischen Eins und Einheit zu machen. Das Wort »Eins« ist als Eingenname eines Gegenstandes der mathematischen Forschung eines Plurals unfähig. Es ist also sinnlos, Zahlen durch Zusammenfassen von Einsen entstehen zu lassen. Das Pluszeichen in 1 + 1 = 2 kann nicht eine solche Zusammenfassung bedeuten.

Frege hat versucht, den Begriff der natürlichen Zahl und mit ihm die gesamte Arithmetik auf rein logischem Wege zu entwickeln. Die 1879 veröffentlichte Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, war sein fundamentaler und erster Schritt auf dem Weg zu diesem Ziel. Im Vorwort zu seiner Begriffsschrift schreibt Frege: „Die festeste Beweisführung“ zur Begründung eines allgemeinen Satzes ist „die rein logische, welche, von der besondern Beschaffenheit der Dinge absehend, sich allein auf die Gesetze gründet, auf denen alle Erkenntnis beruht.“ Und weiter:

Wir theilen danach alle Wahrheiten, die einer Begründung bedürfen, in zwei Arten, indem der Beweis bei den einen rein logisch vorgehen kann, bei den andern sich auf Erfahrungsthatsachen stützen muss. ... Indem ich mir nun die Frage vorlegte, zu welcher dieser beiden Arten die arithmetischen Urtheile gehörten, musste ich zunächst versuchen, wie weit man in der Arithmetik durch Schlüsse allein gelangen könnte, nur gestützt auf die Gesetze des Denkens, die über allen Besonderheiten erhaben sind. Der Gang war hierbei dieser, dass ich zuerst den Begriff der Anordnung in einer Reihe auf die logische Folge zurückzuführen suchte, um von hier aus zum Zahlbegriff fortzuschreiten.

Mit seiner Begriffsschrift hat Frege die Grundlage der heutigen formalen Logik geschaffen, allerdings hat er sein Lebensziel nicht erreichen können: der Begriff der Zahl und die arithmetischen Gesetze sind auf rein logischem Wege nicht begründbar.

Richard Dedekind war der Erste, dem es gelang, die Gesamtheit der natürlichen Zahlen durch die Aufstellung von vier Bedingungen vollständig zu charakterisieren. Die wesentlich auf den Begriffen Menge (im „naiven“ Sinn), Abbildung und Kette beruhende Theorie seines einfach unendlichen Systems N wurde 1887 in der Schrift Was sind und was sollen die Zahlen?  veröffentlicht. Dedekind schrieb im Vorwort zur ersten Auflage als Hauptantwort auf die im Titel dieser Schrift gestellten Frage:

Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen-Wissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen-Reich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlen-Reich beziehen. Verfolgt man genau, was wir bei dem Zählen der Menge oder Anzahl von Dingen tun, so wird man auf die Betrachtung der Fähigkeit des Geistes geführt, Dinge auf Dinge zu beziehen, einem Dinge ein Ding entsprechen zu lassen, oder ein Ding durch ein Ding abzubilden, ohne welche Fähigkeit überhaupt kein Denken möglich ist. Auf dieser einzigen, auch sonst ganz unentbehrlichen Grundlage muß nach meiner Ansicht ... die gesamte Wissenschaft der Zahlen errichtet werden.

In den folgenden Abschnitten wird gezeigt, wie Schritt für Schritt und aufeinander aufbauend die Zahlenmengen ℕ (die Menge der natürlichen Zahlen), ℤ (die Menge der ganzen Zahlen), ℚ (die Menge der rationalen Zahlen), ℝ (die Menge der reellen Zahlen) und ℂ (die Menge der komplexen Zahlen) definiert werden können. Hierbei werden die allem zugrunde liegenden natürlichen Zahlen als Dinge verstanden, die den Peano’schen Axiomen genügen und denen ansonsten keinerlei konkrete Bedeutung anhaftet. Sämtliche Eigenschaften der natürlichen Zahlen einschließlich aller Rechenregeln, die in ℕ gelten, lassen sich aus diesem Axiomensystem ableiten.

Im Kapitel Menge kann man darüber hinaus lernen, dass und wie der Begriff der Zahl auf den Mengenbegriff zurückgeführt werden kann: vonNeumann’sche Zahlen.

Mit Zählen fängt es an...

Jedes Kind lernt mehr oder weniger selbstständig das Zählen: ein Finger, zwei Finger, drei Finger ... oder: ...,  drei Bonbons, zwei Bonbons, ein Bonbon, kein Bonbon. Irgendwann lernt das Kind, dass das Zählen irgendwelcher Dinge immer auf die gleiche Weise funktioniert und fängt an, so zu zählen: eins, zwei, drei, vier, ... Ich habe unseren Nachbarsjungen, als er fünf Jahre alt war, gefragt, wie weit das geht. Er antwortete: „Ich kann schon bis acht zählen!“ Ein Jahr später habe ich ihm die gleiche Frage gestellt und er hat geantwortet: „Das geht immer so weiter ... oder etwa nicht?“

Der italienische Mathematiker Giuseppe Peano (1858−1932) hat die natürlichen Zahlen axiomatisch so beschrieben:

(1) 0 ist eine natürliche Zahl.
(2) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger und dieser ist wieder eine natürliche Zahl.
(3) Enthält eine Menge S die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl auch stets deren Nachfolger, so enthält S alle natürlichen Zahlen.
(4) Sind die Nachfolger zweier natürlicher Zahlen a und b einander gleich, so sind auch a und b einander gleich.
(5) Kein Nachfolger einer natürlichen Zahl ist gleich der Zahl 0.

Wenn man mit null die „erste“ natürliche Zahl bezeichnet, dann ist eins der Nachfolger von null, zwei ist wiederum der Nachfolger von eins, und so geht es tatsächlich „immer weiter“...

 ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Mit ℕ* wird die Menge aller natürlichen Zahlen bezeichnet, die von 0 verschieden sind:

ℕ* = ℕ \ { 0 }.

Auf Grundlage der Peano’schen Axiome lassen sich die Rechengesetze, die innerhalb der Menge der natürlichen Zahlen gelten, beweisen (→ Vollständige Induktion).

Kurz nachdem unser Nachbarsjunge eingeschult wurde, hat er mir stolz berichtet: „Ich kann jetzt schon bis 20 rechnen!“ Meine Frage: „Wieviel sind 7 plus 12?“ Seine Antwort: „19.“ „Wieviel sind denn 12 plus 7?“ Er dachte noch einmal nach und gab die Antwort: „19“. „Fällt dir was auf?“ Das Gespräch ging noch eine kleine Weile weiter und dann stellte ich ihm die Frage: „Wieviel sind 5 minus 7?“ Er sah mich entrüstet an: „Die Aufgabe geht doch gar nicht!“ „Du hast Recht“, antwortete ich, „ich habe nicht aufgepasst, ich habe dir eine falsche Aufgabe gegeben.“

Inzwischen hat er gelernt, dass es doch geht. Wenn die Außentemperatur, die gestern noch 3°C betrug, inzwischen um 5 Grad gefallen ist, dann haben wir heute nicht keine Temperatur, sondern messen  −2°C. Verallgemeinert heißt das: man kann die Menge der natürlichen Zahlen erweitern und erhält die Menge der ganzen Zahlen ℤ = { ..., −2, −1, 0, +1, +2, ... }. Die positiven Zahlen +1, +2, ... werden hierbei identifiziert mit den natürlichen Zahlen 1, 2, ... .

Mit ℤ hat man nicht nur positive, sondern auch negative Zahlen und man kann nach Herzenslust addieren und subtrahieren, wenn man ein paar Rechenregeln beachtet: −(−a) = +a  und  −a + (−b) = −(a + b) und ein paar andere. Allerdings kann man weder innerhalb von ℕ noch innerhalb von ℤ uneingeschränkt dividieren! Die Aufgabe „Wieviel ist 7 geteilt durch 3?“ zum Beispiel geht nicht auf, es bleibt ein Rest. Die Lösung dieses Problems führt auf die Menge der rationalen Zahlen ℚ, das ist die Menge aller Bruchzahlen und die Lösung der Aufgabe „7:3 = ?“ wird plötzlich ganz einfach: das Ergebnis ist 7/3 (gesprochen: „Sieben Drittel“).

Ein Bruch z/n besteht aus einem Zähler z ∈∈ ℤ und einem von 0 verschiedenen Nenner n ∈∈ ℤ*. Die ganzen Zahlen können hierbei mit denjenigen Brüchen identifiziert werden, die den Nenner 1 haben.

Man kommt mit der Bruchrechnung sehr weit. Wenn man bedenkt, dass man solche Zahlen wie 2,78 auch als Bruch schreiben kann, nämlich als 278/100, dann möchte man meinen, es gäbe außer den ganzen und den rationalen Zahlen weiter keine Zahlen auf der Welt.

Behauptung: Die Lösung der Gleichung x² = 2 ist keine rationale Zahl.
Beweis: Wir suchen die Kantenlänge desjenigen Quadrats, dessen Flächeninhalt die Maßzahl 2 hat.
Angenommen, die Kantenlänge k dieses Quadrates ist doch darstellbar als rationale Zahl. Dann gibt es positive ganze Zahlen m* und n* mit k = m*/n*. Sollte der Nenner n* und der Zähler m* gemeinsame Teiler haben, dann kürzt man den Bruch solange, bis wir k = m/n schreiben können, wo m und n teilerfremde Zahlen darstellen.
Aus k = m/n folgt, dass k·n = m. Quadrieren dieser Gleichung liefert k²·n² = m² und wegen k² = 2 bedeutet dies, dass m² eine gerade Zahl sein muss. Da das Quadrat einer ungeraden Zahl immer ungerade ist, muss mit m² auch m eine gerade Zahl sein. Daraus folgt, dass es irgendeine positive ganze Zahl p geben muss mit m = 2·p. Wenn man nun 2·p für m in der Gleichung 2·n² = m² einsetzt, dann haben wir 2·n² = 4·p². Hieraus folgt, dass n² = 2·p². Also ist n² und damit auch n gerade. Insgesamt folgt also, dass 2 sowohl m als auch n teilt. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme und damit ist die Behauptung richtig.

k mit k² = 2 ist also eine irrationale Zahl.

k lässt sich - wie alle anderen Quadratwurzeln auch - näherungsweise berechnen, und zwar mit dem Heronverfahren (benannt nach dem Mathematiker Heron, der im 1. Jahrhundert n.Chr. vermutlich in Alexandria lebte). Das Verfahren beruht auf einer einfachen Idee.

Gegeben sei ein Quadrat und die Maßzahl des Flächeninhalts des Quadrates sei gleich a. Dann gilt für die Kantenlänge k dieses Quadrates

k = √a.

Sei die rationale Zahl k₀ der erste Näherungswert für k, dann gibt es zwei Möglichkeiten: entweder ist k₀ kleiner oder aber größer als k. Im letzten Fall gilt  a < k₀²  und damit hat man  (a/k₀²)·a < a. Im ersten Fall gilt a > k₀² und demnach  (a/k₀²)·a > a. Es folgt also  (a/k₀)² < a < k₀²  oder  k₀² < a < (a/k₀)². Radizieren dieser Ungleichungen liefert

a/k₀ < k < k₀     oder    k₀ < k < a/k₀.

In jedem Fall liegt k also zwischen a/k₀ und k₀. Nun geht es darum, einen Näherungswert für k zu bekommen, der besser ist als k₀, das heißt, dessen Abstand zu k kleiner ist als der Abstand zwischen k₀ und k. Diese Forderung wird erfüllt von der Zahl, die genau in der Mitte zwischen a/k₀ und k₀ liegt (arithmetisches Mittel).
Daraus folgt k₁ = 1/2·(k₀ + a/k₀) und es gilt analog zu eben  a/ k₁ < k < k₁  oder  k₁ < k < a/ k₁. Der zweite Näherungswert k₂ ist dann das arithmetische Mittel von a/ k₁ und k₁ und so fort. Allgemein ergibt dies die Iterationsgleichung

k_n+1 = 1/2·(k_n + a/ k_n)  für  n ∈∈ ℕ 

Unter Benutzung dieser Iterationsgleichung kann im Folgenden die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl a berechnet werden. Der Startwert k₀ muss positiv sein und ist ansonsten frei wählbar. Sobald sich zwei aufeinander folgende Iterationswerte k_n und k_n+1 um nicht mehr als 0,000000001 unterscheiden, wird im folgenden mit JavaScript geschriebenen Programm die Iteration bei i = n abgebrochen (→ Quelltext).

a =
k0 =

Wählt man a = 2 und k₀ = 3, dann liefert die Heron’sche Iterationsgleichung in den ersten vier Schritten die folgenden rationalen Zahlen:

3
11/6
193/132
72097/50952
10390190017/7346972688

Diese Zahlenfolge lässt sich beliebig weit fortsetzen, wobei der Abstand aufeinander folgender Zahlen immer kleiner und kleiner wird. Anscheinend kommt man der Zahl k mit k² = a immer näher, je länger man rechnet! Das Faszinierende ist, dass sich jeder Wert einer solchen Heronfolge als Bruch schreiben lässt, jedoch der Grenzwert einer solchen Folge im Allgemeinen nicht rational ist. (Für das Beispiel k² = 2 haben wir dies eben bewiesen.)

Georg Cantor (1845−1918) hatte als Erster die Idee, dass zu jeder konvergenten rationalen  Folge eine reelle Zahl existiert, die Grenzwert dieser Folge ist. Wie mit dieser Idee Schritt für Schritt die Menge der reellen Zahlen (ℝ) „konstruiert“ werden kann, lässt sich im Abschnitt Die Menge der reellen Zahlen nachlesen.

Ist hiermit das Ende erreicht? Nein! Es gibt Gleichungen, die in ℝ formulierbar, aber nicht in ℝ lösbar sind, zum Beispiel: x² = −1.

Die Menge der natürlichen Zahlen

In der abzählbar unendlichen Menge

ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }

der natürlichen Zahlen gibt es zwei „natürliche“ Operationen: die Addition „+“ und die Multiplikation „·“. Sowohl bezüglich „+“ als auch bezüglich „·“ gilt für alle natürlichen Zahlen k, m und n das Kommutativgesetz:

k + n = n + k
k · n = n · k

und das Assoziativgesetz:

m + (n + k) = (m + n) + k
m · (n · k) = (m · n) · k

Es gelten außerdem das Distributivgesetz

k·(m + n) = k·m + k·n

und die folgenden zwei wichtigen Gesetze:

(N1)  x + n = y + n   ⇔  x = y   für alle x, y, n ∈∈ ℕ
(N2)  x·n = y·n   ⇔  x = y   für alle x, y, n ∈∈ ℕ und n ǂ 0

Ferner gilt für alle n ∈∈ ℕ:

n + 0 = n
n · 0 = 0
n · 1 = n

An alle diese Gesetze haben wir uns so sehr gewöhnt, dass es uns gar nicht in den Sinn kommt, die Gültigkeit dieser Gesetze anzuzweifeln. Nehmen wir als Beispiel das Kommutativgesetz: wenn wir sieben Erbsen in der linken Hand und neun Erbsen in der rechten Hand haben, dann haben wir zusammen sechzehn Erbsen in beiden Händen und derjenige, der uns gegenüber stehen und sagen würde: links hast du neun Erbsen und rechts hast du sieben Erbsen, würde gewiss auf den gleichen Summenwert kommen, vorausgesetzt natürlich, er könnte genauso gut zählen wie wir.

Was ist der Unterschied zwischen einem „normalen“ Menschen und einem Mathematiker? Wenn jemand oft genug Erbsen oder sonst irgendwelche Dinge in ihrer Anordnung vertauscht hat und jedes Mal feststellen konnte, dass sich hierbei die Gesamtzahl der beteiligten Dinge nicht geändert hat, sofern nichts weggenommen oder hinzugefügt wurde, dann glaubt er oder sie normalerweise, dass das auch beim nächsten Mal so sein wird. In der Mathematik ist man dagegen erst dann richtig zufrieden, wenn man bewiesen hat, dass etwas immer so sein muss.

Gottlob Frege schreibt in seinen Grundlagen der Arithmetik:

Freilich sind Zahlformeln wie 5 + 7 = 12 und Gesetze wie das der Associativität bei der Addition durch die unzähligen Anwendungen, die tagtäglich von ihnen gemacht werden, so vielfach bestätigt, daß es fast lächerlich erscheinen kann, sie durch das Verlangen nach einem Beweise in Zweifel ziehen zu wollen. Aber es liegt im Wesen der Mathematik begründet, daß sie überall, wo ein Beweis möglich ist, ihn der Bewährung durch Induction vorzieht.

(Der von Frege hier benutzte Begriff „Induction“ bezeichnet die Methode, aus einzelnen Phänomenen und beobachtbaren Dingen auf ein allgemein gültiges Gesetz zu schließen und ist nicht zu verwechseln mit dem „Prinzip der vollständigen Induktion“.)

Dass der bloße Augenschein oftmals in die Irre führen kann, zeigt folgende Aufgabe: Gegeben sei ein Kreis. Auf der Kreislinie hat man eine gewisse Anzahl an Punkten, wobei alle Punkte paarweise miteinander durch eine Linie verbunden sind. In wieviele Teilflächen wird der Kreis zerlegt?

   

Die Vermutung liegt nahe, dass sich die Zahl der Teilflächen mit jedem neu dazu kommenden Kreispunkt verdoppelt, bei 4 Kreispunkten wären es dann 8 Teilflächen, bei 5 Kreispunkten 16 Teilflächen, u.s.w. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass das vermeintlich entdeckte „Verdoppelungsgesetz“ ab 6 Kreispunkten nicht mehr gültig ist. Man benötigt einen Kreis mit sechs Punkten auf der Kreislinie, die paarweise miteinander verbunden sind und dann heißt es einfach: Teilflächen zählen ...

Oftmals ist es wesentlich schwieriger als in diesem Beispiel, einen Irrtum aufzudecken oder zu beweisen, dass etwas nicht richtig ist, was man zuvor nie angezweifelt hat. Zuweilen läuft der Irrtum aber auch genau in die andere Richtung. Man glaubt, ein ungültiges Gesetz muss unter allen Umständen falsch sein. Formulieren wir das in ℕ gültige Distributivgesetz einmal um und schreiben:  k + (m·n) =(k+m)·(k+n), dann sieht man mit einem Gegenbeispiel, dass diese Gleichung im Allgemeinen unter Verwendung von natürlichen Zahlen und der in ℕ üblichen Addition bzw. Multiplikation zu einer falschen Aussage führt.
3 + (2·4) ǂ (3 + 2)·(3 + 4). Dies lässt sich mit Erbsen nachzählen:

Nimmt man anstatt der natürlichen Zahlen irgendwelche Mengen gleichartiger Objekte und verwendet statt der Operation „+“ die Mengenoperation „∪“ und statt der Operation „·“ die Mengenoperation „∩“, dann sind beide Distributivgesetze gültig!

Für beliebige Mengen A, B und C gelten die beiden Distributivgesetze:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Zurück zu den natürlichen Zahlen. Es ist vielleicht nicht verwunderlich, dass die Beweise der in ℕ gültigen Gesetze auf dem Prozess des Zählens beruhen. Hierbei ist es wichtig zu wissen, dass man tatsächlich nicht alles beweisen kann. Man muss schließlich irgendwo anfangen. Auch die Mathematiker brauchen ein festes Fundament, auf dem sie aufbauen können. Ein nicht beweisbarer Grundsatz heißt in der Mathematik ein Axiom. Die fünf Axiome von Peano beispielsweise stellen im Grunde nichts anderes dar als eine Möglichkeit, den Prozess des Zählens mathematisch handhabbar mit so wenigen Begriffen wie möglich und widerspruchsfrei zu beschreiben. (Wer sich für die Beweise der Rechengesetze in ℕ interessiert, kann diese im Kapitel Vollständige Induktion nachlesen: Addieren und Multiplizieren natürlicher Zahlen.)

Die zwei auf ℕ existierenden Operationen „+“ und „·“ induzieren für alle m,n ∈∈ ℕ  die zwei Gleichungen

(G1)   m + x = n
(G2)   m · x = n.

Wenn es für (G1) irgendeine Lösung in ℕ gibt, dann ist diese eindeutig bestimmt. Denn nehmen wir einmal an, es gibt für die Gleichung  m + x = n mit beliebigen, aber fest gewählten natürlichen Zahlen m und n zwei voneinander verschiedene Lösungen x und x*. Dann gilt  m + x = n  und  m + x* = n, und hieraus folgt, dass  m + x = m + x*. Wegen der Kommutativität in ℕ bezüglich der Addition „+“ kann man dieses auch so schreiben: x + m = x* + m und dann folgt mit dem Gesetz (N1) sofort, dass x = x*. Für die Gleichung  4 + x = 7 beispielsweise ergibt sich die eindeutige Lösung x = 3 und es ist 3 ∈∈ ℕ.

Entsprechend kann man zeigen, dass (G2) eine eindeutige Lösung hat, gesetzt den Fall, dass diese Gleichung eine Lösung besitzt. Die Gleichung 6·x = 48 beispielsweise wird eindeutig gelöst durch x = 8 und es ist 8 ∈∈ ℕ.

In Gleichung (G2) wurden die gleichen Bezeichner „m“ und „n“ für beliebig gewählte natürliche Zahlen benutzt wie in Gleichung (G1). Das bedeutet aber natürlich nicht, dass die Zahlen m und n, die in (G2) vorkommen, die gleichen sind wie die aus (Gl1).

Gleichung (G1) ist innerhalb der Menge der natürlichen Zahlen unlösbar, sobald die Zahl n kleiner ist als m. Gleichung (G2) ist dann nicht in ℕ lösbar, wenn m die Zahl n nicht teilt (m ∤ n).

Die Menge der ganzen Zahlen

Die Aufgabe, die mit der Gleichung 7 + x = 3  beschrieben wird, ist leicht zu verwechseln mit einer anderen Aufgabe, die so ähnlich aussieht. Die andere Aufgabe lautet: Welche (natürliche) Zahl ist von der Zahl 7 abzuziehen, damit 3 herauskommt? Die Antwort auf diese Frage kennt natürlich jeder: Es ist die Zahl 4. Mit der Gleichung  7 + x = 3  ist aber genau das gemeint, was da steht: Gesucht ist diejenige Zahl, die man zu 7 addieren muss, um die Zahl 3 zu erhalten und die Lösung dieser Aufgabe ist innerhalb der natürlichen Zahlen ℕ nicht zu haben.

Was tun? Wenn jemand gerne eine komfortable Weltreise unternehmen möchte, aber das nötige Geld dazu nicht hat, dann hilft kein Jammern und kein Nachdenken, die große Fahrt kann nicht stattfinden. Die Mathematiker haben es da besser. Wenn es zum Beispiel darum geht, bestimmte Gleichungen lösen zu wollen, die innerhalb des bestehenden Rahmens nicht lösbar sind, dann verschafft man sich eben per Definition die passenden Lösungen und gibt diesen neuen Objekten einen gescheiten Namen.

Das hört sich so genial einfach an, ist es aber leider nicht. Definieren lässt sich im Prinzip alles, was man will, nur muss danach überprüft werden, ob mindestens die folgenden Fragen sicher mit „Ja“ beantwortet werden können. (Dies gilt im übrigen nicht nur bei der Erweiterung einer Zahlenmenge wie in dem Fall, der hier gerade diskutiert wird, sondern generell dann, wenn es darum geht, etwas wirklich Neues zu definieren).

1. Ist die neue Regel oder der neue Begriff wohldefiniert?
Wenn beispielsweise etwas nach einer definierten Regel berechnet werden soll, dann muss unter Anwendung dieser Regel immer das Gleiche herauskommen.

2. Ist die Definition widerspruchsfrei?
Wenn in einer mathematischen Argumentation die neue Definition verwendet wird, dann dürfen dabei keine logischen Widersprüche auftreten.

Erster Versuch: Wir kreieren die Menge aller Lösungen der Gleichungen vom Typ G1 und nennen diese Menge „ℤ“:

ℤ = { x:  m + x = n  mit m, n ∈∈ ℕ}.

In Worten: Jedes Element x der Zahlenmenge ℤ soll Lösung einer Gleichung der Form m + x = n sein, wobei m und n beliebig gewählte natürliche Zahlen sind.

Um in ℤ rechnen zu können, brauchen wir eine Addition „+“: ℤ x ℤ → ℤ und eine Multiplikation „·“: ℤ x ℤ → ℤ, in Worten ausgedrückt: wenn man irgendeine ganze Zahl mit irgendeiner anderen ganzen Zahl addiert bzw. multipliziert, muss das jeweilige Ergebnis immer eindeutig bestimmt und zudem eine ganze Zahl sein.

Die Idee zur Definition der Addition auf ℤ lautet gemäß der eben hingeschriebenen (vorläufigen) Definition von ℤ so:

Seien a und b ganze Zahlen, das heißt, a ist (eindeutige) Lösung einer Gleichung m + x = n  und b ist (eindeutige) Lösung einer Gleichung m* + x = n*. Dann soll a+b die Lösung der Gleichung  (m+m*) + x = (n+n*) sein.

Hierbei soll mit „+“ der neue Summenoperator in ℤ und mit „+“ der alte Summenoperator in ℕ bezeichnet werden.

Nun ist es zwar so, dass zu jeder Gleichung  m + x = n  genau eine Lösung gehört (die repräsentiert werden kann durch das geordnete Paar (n; m) ∈∈ ℕxℕ); umgekehrt lassen sich jedoch zu jedem a ∈∈ ℤ unendlich viele Gleichungen der Form G1 finden mit der Eigenschaft, a als Lösung zu besitzen.

Sei a ∈∈ ℤ  Lösung der Gleichung  m + x = n, dann ist (m + c) + x = (n + c) mit c ∈∈ ℕ irgendeine der anderen Gleichungen, die a auch als Lösung besitzen.

Jede Zahl z ∈∈ ℤ wird hiernach unendlich oft durch bestimmte Gleichungen repräsentiert. Das lässt sich besser machen: Sei die Relation R ⊂ ℕ²xℕ² wie folgt definiert:

(n; m) R (n*; m*) ⇔_def m + n* = n + m*

Dann kann man zwei Dinge zeigen:
(i)  R ist eine Äquivalenzrelation.
(ii) Wenn a ∈∈ ℤ Lösung der Gleichung  m + x = n  und b ∈∈ ℤ Lösung der Gleichung  m* + x = n* ist, dann gilt

 a = b  ⇔  (n; m) R (n*; m*).

Dies führt zur endgültigen Definition der Menge ℤ.

Die Definition der Addition „+“ lässt sich damit wie folgt formulieren:

a + b = [n_a, m_a] + [n_b, m_b] =_def [n_a + n_b, m_a + m_b] 
für alle  a, b ∈∈ ℤ.

Hierbei stellt [n, m] diejenige Äquivalenzklasse dar, die durch (n; m) ∈∈ ℕxℕ repräsentiert wird.

Die Addition „+“ ist wohldefiniert.

Zwei Fragen bleiben übrig: Was ist mit der Multiplikation in der neuen Menge ℤ? Und wie lässt sich die Menge der natürlichen Zahlen „einbetten“ in ℤ? Beide Fragen hängen aufs Engste miteinander zusammen.

Die Einbettung von ℕ in ℤ gelingt dann, wenn wir zeigen können, dass eine Teilmenge von ℕxℕ/R dieselbe Struktur besitzt wie ℕ. Dann kann diese Teilmenge identifiziert werden mit ℕ.

Zunächst hat man mit f: ℕ → ℤ, definiert durch f(n) = [n, 0] für alle n ∈∈ ℕ eine injektive Abbildung von ℕ nach ℤ, das heißt, zu jeder natürlichen Zahl existiert eineindeutig eine Zahl aus ℤ. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass es zu jedem Bild f(n) ∈∈ ℤ unter der Abbildung f nur ein einziges Urbild n ∈∈ ℕ gibt.

Zweitens: für alle natürlichen Zahlen n und m gilt

(L1)       f(n + m) = f(n) + f(m).

Das heißt vereinfacht gesprochen, „+“ macht mit n, m ∈∈ ℕ genau das Gleiche wie „+“ mit den zugeordneten f(n) und f(m) ∈∈ ℤ. Das aber bedeutet, dass die Struktur von ℕ und die Struktur von Imf ⊂ ℤ  bezüglich der jeweiligen Addition tatsächlich die gleiche ist, wenn man noch beachtet, dass bezüglich „+“ und bezüglich „+“ dieselben Rechengesetze gelten. Mit  Imf  bezeichnet man hierbei die Bildmenge von f, genauer gesagt:

Imf = { f(n): n ∈∈ ℕ } ⊂ ℤ

Die eben definierte Abbildung f: ℕ → ℤ ist also ein Monomorphismus. Anders ausgedrückt: Durch die Abbildung f wird ℕ in ℤ eingebettet.

Für die ganze Zahl [n, 0] wird auch weiterhin „n“ geschrieben, die ganze Zahl 0 = [0, 0] wird identifiziert mit der natürlichen Zahl 0, die ganzen Zahlen [0, m] heißen negativ und werden - wie gewohnt - abgekürzt mit (−m). Alle ganzen Zahlen [n, 0] mit n ∈∈ ℕ* heißen positiv. Die Menge aller positiven ganzen Zahlen wird mit ℤ⁺ bezeichnet.

Unter Verwendung dieser Abkürzungen lässt sich die Lösung [n, m] der Gleichung  x + m = n wie folgt schreiben:

[n, m] = [n, 0] + [0, m] = n + (−m).

Führt man ferner für  „n + (−m)“  abkürzend die Schreibweise  „n − m“  ein, so hat man

[n, m] = n − m.

Hieraus folgt für alle n ∈∈ ℕ insbesondere

n − n = n + (−n) = [n, 0] + [0, n] = [0, 0] = 0.

Wir haben oben nachgewiesen, dass die Einbettung von ℕ in ℤ gelungen ist im Hinblick auf die Addition; die Einbettung von ℕ in ℤ ist allerdings erst dann vollständig, wenn es uns gelingt, eine Multiplikation in ℤ so zu definieren, dass auch diesbezüglich alle Rechengesetze, die in ℕ gelten, auch in ℤ Gültigkeit besitzen und dass gilt:

(L2)        f(n·m) = f(n)·f(m)

Dies klappt mit der folgenden Definition:

[n, m]·[n*, m*]  =_def  [n·n* + m·m*, m·n* + n·m*]
für alle  [n, m], [n*, m*] ∈∈ ℤ.

Diese Multiplikation ist wohldefiniert, kommutativ und assoziativ. Außerdem kann man zeigen, dass (L2) gilt.

Für alle a, b, c ∈∈ ℤ gelten die folgenden Regeln:

Es lässt sich darüber hinaus zeigen, dass die in Regel (ii)₊ mit 0 bezeichnete ganze Zahl und die in Regel (ii)_* mit 1 bezeichnete ganze Zahl eindeutig bestimmt sind, das heißt, nur [0, 0] bzw. [1, 0] haben die in (ii)₊ bzw. (ii)_* beschriebenen Eigenschaften.

Die Menge der ganzen Zahlen ist  bezüglich der in ℤ definierten Addition „+“ aufgrund der Eigenschaften (i)₊, (ii)₊ und (iii)₊ eine Gruppe. Wegen der Gültigkeit des Kommutativgesetzes (Regel (iv)₊) ist ℤ sogar eine Abel’sche Gruppe. Das zu jedem a ∈∈ ℤ existierende a* mit a* + a = 0 ist eindeutig bestimmt und heißt das „zu a inverse Element“. Das Inverse zu a wird üblicherweise mit (−a) bezeichnet.

Aufgrund der Gültigkeit der Regeln (i)_* und (iv)_* ist ℤ bezüglich der Multiplikation „·“ zudem eine Abel’sche Halbgruppe.

Die in ℕ nicht lösbaren Gleichungen vom Typ G1 sind in ℤ lösbar, und zwar auf eindeutige Weise. Dagegen lassen sich Gleichungen vom Typ G2 auch in ℤ nicht lösen! Dies ist der Grund dafür, dass es eine zu (iii)₊ analoge Eigenschaft (iii)_* nicht gibt und das bedeutet, dass (ℤ,·) keine Gruppe ist. 

Die folgenden, für alle a,b ∈∈ ℤ geltenden Rechenregeln ergeben sich aus den Gesetzen (II)₊, (III)₊, (IV)₊, (V) und (VI).

Unter Beachtung des Distributivgesetzes sind jetzt alle Klammerregeln beweisbar.
Zum Beispiel gilt für alle a, b, c ∈∈ ℤ:
   a − (b − c)
= a + (−(b + (−c)))
= a + (−1)·(b + (−1)·c)
= a + (−1)·b + (−1)·(−1)·c
= a + (−b) + c
= a − b + c.

Eine ganze Zahl ist entweder positiv oder negativ oder gleich 0.

Das Produkt zweier positiver ganzer Zahlen ergibt eine positive ganze Zahl. Das Produkt zweier negativer ganzer Zahlen liefert ebenfalls eine positive ganze Zahl. Ist im Produkt zweier ganzer Zahlen die eine Zahl positiv und die andere negativ, so ist der Produktwert negativ.

Die Menge der rationalen Zahlen

Die ganzen Zahlen wurden im vorigen Abschnitt als Äquivalenzklassen einer passenden Relation auf ℕ² definiert. Ganz entsprechend kann man die Menge der rationalen Zahlen definieren: als Menge der Äquivalenzklassen bezüglich einer geeigneten Relation auf ℤxℤ* mit ℤ* = ℤ \ { 0 }. Diese Relation ist definiert durch:

(a; b) R (a*; b*)  ⇔_def  a · b* = b · a*    

Dass diese Definition von der Form her ganz genauso gewählt wird wie die oben in Bezug auf die Relation R auf ℕ², ist nicht überraschend, denn die Gleichungen vom Typ G2 haben dieselbe Form wie die Gleichungen vom Typ G1. Die Relation R ⊂ (ℤxℤ*)² ist eine Äquivalenzrelation. Die beispielsweise durch (a; b) repräsentierte Äquivalenzklasse soll analog zu oben mit [a, b] bezeichnet werden.

Für alle  [a, b], [c, d] ∈∈ ℚ wird festgesetzt:

[a, b] · [c, d]  =_def  [a·c, b·d]  und
[a, b] + [c, d]  =_def  [a·d+b·c, b·d].

Hiermit sind Addition und Multiplikation in ℚ wohldefiniert und es gelten für alle r, s, t ∈∈ ℚ die folgenden Regeln:

(ℚ,+) und (ℚ\{0},·) sind wegen (i)₊, (ii)₊, (iii)₊ und (iv)₊ bzw. wegen (i)_*, (ii)_*, (iii)_* und (iv)_* Abel’sche Gruppen. 0 ist das neutrale Element von (ℚ,+) und heißt Nullelement von ℚ. 1 ist das neutrale Element von (ℚ\{0},·) und heißt Einselement von ℚ. Sowohl das Nullelement als auch das Einselement sind eindeutig bestimmt.

ℤ lässt sich in ℚ einbetten, und zwar mit Hilfe der injektiven Abbildung f: ℤ → ℚ, die durch

f(a) = [a, 1]  für alle a ∈∈ ℤ

definiert ist. Für die rationale Zahl [a, 1] schreibt man auch weiterhin „a“, die rationale Zahl 0 = [0, 1] wird identifiziert mit 0 ∈∈ ℤ bzw. mit 0 ∈∈ ℕ. Entsprechend wird 1 = [1, 1] = 1 = 1 gesetzt.

[a, b] wird gewöhnlich in der bekannten Form a/b dargestellt. Oft schreibt man eine rationale Zahl als Dezimalbruch. Ein Beispiel:

91/250 = 3/10 + 6/100 + 4/1000 = 0,364.

 Q1
Es sei r ∈∈ ℚ mit r = [m, n] und m, n ∈∈ ℕ*. Dann lässt sich r in eindeutiger Weise in der Form r = m/n schreiben, wobei entweder n = 1 gilt oder n und m keinen gemeinsamen Teiler haben.

Das zu jedem r ∈∈ ℚ existierende r* mit r* + r = 0 ist eindeutig bestimmt und wird mit (−r) bezeichnet (inverses Element bezüglich der Addition oder „das Negative von r“).
Ist r = a/b mit a ∈∈ ℤ und b ∈∈ ℤ*, dann gilt (−r) = (−a)/b.

Für einen Ausdruck von der Form s + (−t) verwendet man abkürzend die Schreibweise s − t.

Das zu jedem r ∈∈ ℚ\{0} existierende r* mit r* · r = 1 ist eindeutig bestimmt und wird mit r⁻¹ bezeichnet (inverses Element bezüglich der Multiplikation). 

Gewöhnlich wird zwischen den Additionszeichen „+“ in ℕ, „+“ in ℤ und „+“ in ℚ, bzw. den Multiplikationszeichen „·“ in ℕ, „·“ in ℤ und „·“ in ℚ nicht unterschieden. Stattdessen werden in der Regel nur die Zeichen „+“ und „·“ verwendet. Entsprechendes gilt für die jeweiligen Null- bzw. Einselemente. Manchmal - vor allem in den Beweisen - ist es allerdings ganz nützlich, inhaltlich Unterschiedliches auch in der Schreibweise voneinander klar zu unterscheiden.

Die Möglichkeit, im nächsten Erweiterungsschritt die Menge der reellen Zahlen ℝ zu „konstruieren“, beruht ganz wesentlich auf der Tatsache, dass man die rationalen Zahlen anordnen kann.  

Wenn r < 0 oder r = 0 gilt, dann schreibt man abkürzend: r ≤ 0. Statt r < s schreibt man auch s > r.

 Q2 (Trichotomieeigenschaft der rationalen Zahlen)

Für die Ordnungsrelation „<“ gilt für alle r, s ∈∈ ℚ genau eine der folgenden Beziehungen:

r < s,  r = s,  r > s 

 Q3
Es gilt für alle r, s, t ∈∈ ℚ:

r < s  und  s < t  ⇒  r < t
r < s  ⇔ r + t < s + t
r > 0  und  s > 0  ⇒  r · s > 0

Aufgrund der Trichotomieeigenschaft der rationalen Zahlen ist die folgende Definition möglich:

 Q4
Sei ε irgendeine positive rationale Zahl, dann gilt für alle r ∈∈ ℚ:

|r| ≥ 0
Entweder gilt  r = |r| oder es gilt  r = −|r|.
|r| ≤ ε ⇔ −ε ≤ r ≤ ε

Es folgen für r, s, r*, s* ∈∈ ℚ weitere Regeln für den Umgang mit Ungleichungen bzw. mit Beträgen:

Die Regeln (1) bis (8) gelten in entsprechender Weise auch für reelle Zahlen.

Die Menge der reellen Zahlen

Im Körper der rationalen Zahlen sind die Gleichungen

(G1)    r + x = s  mit  r, s ∈∈ ℚ
(G2)    r · x = s  mit  r ∈∈ ℚ \ {0}  und  s ∈∈ ℚ

immer lösbar. Das bedeutet, dass sich stets eine (eindeutig bestimmte) rationale Zahl für die Unbekannte x finden lässt um (G1) bzw. (G2) zu einer wahren Aussage zu machen, egal wie die rationalen Zahlen r und s gewählt werden. Die einzige Einschränkung besteht darin, dass in der Gleichung (G2) der Faktor r nicht 0 sein darf.

Mit den Schreibweisen  x = s − r  bzw.  x = s : r wird verabredet, was unter der Subtraktion bzw. unter der Division innerhalb von ℚ verstanden werden soll: (s − r) ist die Lösung der Gleichung (G1) und (s : r) die Lösung von (G2). Was fehlt? Nun, die Gleichung

(G3)    xⁿ = r  mit  r ∈∈ ℚ⁺ und n ∈∈ ℕ

ist in ℚ im Allgemeinen nicht lösbar. Beispielsweise ist die Quadratwurzel aus 2 (also die Lösung der Gleichung  x² = 2) keine rationale Zahl (Beweis siehe oben). Der Heron-Algorithmus liefert mit einem willkürlich gewählten Startwert eine Zahlenfolge rationaler Zahlen, mit Hilfe derer man etwa die Quadratwurzel von 2 mit beliebig vorgegebener Genauigkeit bestimmen kann:

Man kann sich der Quadratwurzel aus 2 noch auf eine ganz andere Art nähern (vielleicht auf gewissermaßen „natürlichere“ Art):

Für die Näherungsbrüche x₀ = 1, x₁ = 1,4,  x₂ = 1,41, ... gilt  x_m ≤ x_n ≤ x_m + 1/10^m für n > m, also insbesondere

|x_n − x_m| ≤ 1/10^k  für alle m, n ≥ k,

wobei die natürliche Zahl k beliebig gewählt werden kann. Diese Ungleichung wird (in allgemeinerer Form) wesentlich sein, wenn es darum geht, rationale Fundamentalfolgen (Cauchyfolgen) zu definieren, mit denen es gelingen wird, die Menge der reellen Zahlen zu konstruieren.

Die Erweiterung der Zahlenmenge ℚ wird ganz anders vonstatten gehen müssen wie die Erweiterung von ℕ nach ℤ oder die Erweiterung von ℤ nach ℚ, denn die Struktur der Gleichung (G3) ist verschieden von der der Gleichungen (G1) und (G2). Zudem liegt natürlich die Frage nahe, ob sich alle irrationale Zahlen als Lösungen einer Gleichung vom Typ G3 darstellen lassen, oder ob es noch weitere irrationale Zahlen „anderer Art“ gibt. Und - wenn ja - wie kann man sich sicher sein, dass man wirklich alle irrationalen Zahlen irgendwann einmal gefunden hat?

Die Konstruktion der Menge der reellen Zahlen (das ist die Gesamtheit aller rationalen und irrationalen Zahlen) ist auf verschiedene Art möglich (mit Hilfe von Intervallschachtelungen, mit Hilfe von Dezimalbruchentwicklungen, mit Hilfe der Dedekind’schen Schnitte, mit Hilfe von Capellipaaren oder mit Hilfe von Cauchyfolgen). Der letztgenannte Weg soll nachstehend Schritt für Schritt beschrieben werden.

Eine Folge besteht nach dieser Definition immer aus unendlich vielen Folgengliedern. Manchmal unterscheidet man dagegen streng zwischen den Begriffen „unendliche Folge“ und „endliche Folge“. Da in diesem Kapitel aber nirgendwo endliche Folgen vorkommen, ist es zweckmäßig, einfach von „Folge“ zu sprechen.

Unter Verwendung des in ℚ erklärten Absolutbetrages lässt sich der fundamentale Begriff der Cauchyfolge (benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy) definieren:

Anschaulich bedeutet das, dass die Folgenglieder einer Cauchyfolge mit größer werdendem Folgenindex immer „näher zusammenrücken“.

Die Dezimalbruchentwicklung der Quadratwurzel aus 2 (siehe oben) ist so eine Cauchyfolge. Die Idee liegt nahe, die irrationale Quadratwurzel aus 2 mit eben solchen rationalen Cauchyfolgen zu repräsentieren, und nicht nur speziell die Quadratwurzel aus 2, sondern jede irrationale Zahl. Damit das funktioniert, müssen einige Fragen beantwortet werden:

1. Wann definieren zwei verschiedene Cauchyfolgen ein und dieselbe irrationale Zahl?
(Diese Frage wird dann gelöst sein, wenn es gelingt, auf der Menge aller Cauchyfolgen F_C eine Äquivalenzrelation zu definieren.)
2. Ist es möglich, in F_C eine Addition, eine Multiplikation und eine Division zu definieren?
(Insbesondere muss gezeigt werden, dass die zu definierenden Rechenoperationen wohldefiniert sind.)
3. Lässt sich die Menge der rationalen Zahlen ℚ in die neu zu konstruierende Menge der reellen Zahlen ℝ einbetten, das heißt, kann man eine Teilmenge von ℝ mit ℚ identifizieren?

Die Antworten auf diese Fragen lassen sich nicht ganz einfach haben. Es beginnt mit der Untersuchung rationaler Zahlenfolgen.

Der Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist eindeutig bestimmt (→ Beweis).

Beispiele für Folgen:
Die Folge (a_n), definiert durch a₀ = 1; a_n = 1/n für alle n ∈∈ ℕ*, ist eine Nullfolge.
Die Folge (b_n), definiert durch b_n = 3·n/2·n+10 für alle n ∈∈ ℕ,  ist konvergent und strebt gegen 3/2.
Die Folge (c_n), definiert durch c_n = n² für alle n ∈∈ ℕ, ist divergent.

 Q5
Jede konvergente Folge rationaler Zahlen (a_n) ist eine Cauchyfolge.

Die Umkehrung des vorstehenden Satzes ist nicht richtig!

 Q6
Jede Cauchyfolge ist beschränkt, das heißt: es gibt für jede Cauchyfolge (a_n) ein r ∈∈ ℚ, so dass

|a_n| ≤ r   für alle  n ∈∈ ℕ.

Auf F_C (Menge aller Cauchyfolgen) lassen sich eine Addition und eine Multiplikation definieren, und zwar soll für  f,g ∈∈ F_C  für alle n ∈∈ ℕ  (f+g)(n) =_def f(n) + g(n)  und  (f·g)(n) =_def f(n)·g(n) gelten. Diese Definitionen bedeuten, dass zwei Cauchyfolgen f und g addiert (bzw. multipliziert) werden, indem jeweils die einzelnen Folgenglieder von f und g addiert (bzw. multipliziert) werden.

Diese Definition macht nur dann Sinn, wenn wir zeigen können, dass die Summe, bzw. das Produkt zweier Cauchyfolgen immer wieder eine Cauchyfolge ergeben.

Die Verknüpfungen „+“ und „·“ in F_C sind wegen der Rechengesetze in ℚ selbstverständlich assoziativ, kommutativ und es gilt das Distributivgesetz. Die Folge (−f) ist definiert durch (−f)(n) =_def −f(n). Für den Ausdruck f + (−g) schreibt man kürzer f − g.

 Q7
Wenn (a_n) eine Cauchyfolge ist, dann tritt genau einer der folgenden drei Fälle ein:

(1) (a_n) ist eine Nullfolge.
(2) (a_n) ist eine „Positivfolge“, das heißt, es gibt eine positive rationale Zahl r und eine natürliche Zahl N mit a_n > r für n > N.
(3) (a_n) ist eine „Negativfolge“, das heißt, es gibt eine negative rationale Zahl r und eine natürliche Zahl N mit a_n < r für n > N.

Sei nun die Relation R~ ⊂ F_CxF_C wie folgt definiert:

(a_n) R~ (b_n)  ⇔_def  (a_n − b_n) ist eine Nullfolge.

R~ ist eine Äquivalenzrelation auf F_C und mit (a_n) R~ (b_n) und (a*_n) R~ (b*_n) gilt auch
(a_n + b_n) R~ (a*_n + b*_n) und (a_n·b_n) R~ (a*_n·b*_n). Der Beweis hierzu lässt sich leicht führen.

Mit der bereits gewohnten Abkürzung [a_n] soll die Menge aller derjenigen Cauchyfolgen bezeichnet werden, die zu einer gegebenen Cauchyfolge (a_n) äquivalent sind.

 Q8
Seien (a_n) und (b_n) zwei Cauchyfolgen, die keine Nullfolgen sind.
Ferner sei a_n ǂ 0 und b_n ǂ 0  für alle n ∈∈ ℕ.
Wenn (a_n) R~ (b_n), dann sind (a_n⁻¹) und (b_n⁻¹) Cauchyfolgen und es gilt (a_n⁻¹) R~ (b_n⁻¹).

Nunmehr kann die Menge der reellen Zahlen definiert werden, samt aller benötigten Rechenoperationen in dieser Zahlenmenge (Cantorkonstruktion von ℝ). Die Idee für die nachfolgend beschriebene Konstruktion der Menge der reellen Zahlen hat Georg Cantor (1845−1918) - allerdings unter Verwendung anderer Begriffe - erstmals im Jahr 1872 in seiner Schrift über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen veröffentlicht. 

Jeder rationalen Zahl r kann die Klasse aller konstanten Cauchyfolgen (a_n) mit a_n = r für alle n ∈∈ ℕ eindeutig zugeordnet werden, mit anderen Worten: ℚ lässt sich in ℝ einbetten.

Da sich gemäß Q7 die möglichen Typen von Cauchyfolgen („Nullfolge“, „Positivfolge“, „Negativfolge“) gegenseitig ausschließen, ist die folgende Definition möglich.

Durch diese Definitionen behalten die Rechengesetze, die in F_C gelten, auch in ℝ ihre Gültigkeit. (ℝ,+,·) ist genauso wie (ℚ,+,·) ein kommutativer Körper, das heißt, es gilt für alle x, y, z ∈∈ ℝ:

Es sind die gleichen Gesetze wie die, die in ℚ gelten!

0 ist das neutrale Element von (ℝ,+) und heißt Nullelement von ℝ.
1 ist das neutrale Element von (ℝ\{0},·) und heißt Einselement von ℝ.
Sowohl das Nullelement als auch das Einselement sind eindeutig bestimmt.
Das zu jedem x ∈∈ ℝ existierende x* mit x* + x = 0 ist eindeutig bestimmt und wird mit (−x) bezeichnet (inverses Element bezüglich der Addition oder „das Negative von x“).
Für einen Ausdruck von der Form x + (−y) verwendet man abkürzend die Schreibweise x − y.
Das zu jedem x ∈∈ ℝ\{0} existierende x* mit x*·x = 1 ist eindeutig bestimmt und wird  mit x^-1 bezeichnet (inverses Element bezüglich der Multiplikation).
Für das Produkt x·y wird meist abkürzend nur xy geschrieben.

Die folgenden Rechenregeln für reelle Zahlen ergeben sich allein aus den Gesetzen (II)₊, (III)₊, (IV)₊, (V) und (VI).

Der Beweis dieser Regeln wurde bereits geführt (die Gesetze (II)₊, (III)₊, (IV)₊, (V) und (VI) gelten sinngemäß bereits für die Menge der ganzen Zahlen!)

 Q9
Das Produkt zweier positiver reeller Zahlen ergibt eine positive reelle Zahl. Das Produkt zweier negativer reeller Zahlen liefert ebenfalls eine positive reelle Zahl. Ist im Produkt zweier reeller Zahlen die eine Zahl positiv und die andere negativ, so ist der Produktwert negativ.

Seien x und y reelle Zahlen mit y ǂ 0. Dann heißt  xy⁻¹  Quotient von x und y und wird mit x/y bezeichnet.

xⁿ heißt n-te Potenz von x und wird wie folgt induktiv definiert:

Mit den folgenden Definitionen ist es möglich, die reellen Zahlen anzuordnen:

Mit Q7 folgt sofort

 Q10 (Trichotomieeigenschaft der reellen Zahlen)
Für die Ordnungsrelation „<“ gilt für alle x, y ∈∈ ℝ genau eine der folgenden Beziehungen:

x < y,  x = y,  y < x.

 Q11
Es gilt für alle x, y, z ∈∈ ℝ:

x < y  und  y < z  ⇒  x < z
x < y  ⇔ x + z < y + z

Für die Ordnungsrelation „<“ auf ℝ gelten also mit Q10 und Q11 die gleichen Regeln, die oben bereits für ℚ notiert worden sind. Damit ist ℝ (genauso wie auch ℚ) eine linear geordnete Menge, das heißt, für alle x, y, z ∈∈ ℝ  gilt:

x < y  und  y < z  ⇒  x < z   (Transitivität),
Es gibt kein x ∈∈ ℝ mit x < x   (Irreflexivität),
x < y  oder  y = x  oder  y < x   (Konnexität).

Wegen Q10 lässt sich die für ℚ gültige Definition des Absolutbetrages für ℝ ohne Weiteres übernehmen. Für alle x ∈∈ ℝ gilt demgemäß:

Die oben vorgestellten Regeln für rationale Zahlen gelten ebenso für reelle Zahlen:

Die Ungleichung |x + y| ≤ |x| + |y| heißt Dreiecksungleichung (für reelle Zahlen) (vgl. X34).

Die Betragsfunktion abs: x ↦ |x| gestattet es, auf ℝ eine Metrik zu definieren:

ℚ und ℝ werden mit

d(x,y) =_def |y − x|  
für alle x, y ∈∈ ℚ   bzw.  für alle x, y ∈∈ ℝ

zu metrischen Räumen.

 Q12
Sowohl ℚ als auch ℝ sind archimedisch angeordnete Körper.

 Q13
Innerhalb der Menge der reellen Zahlen gelten folgende Regeln:

x < y  und  0 < z  ⇒  xz < yz
x < y   und  z < 0   ⇒  xz > yz
0 < x < y   ⇒  0 < 1/y < 1/x

 Q14
Zu jeder positiven Zahl ε gibt es eine natürliche Zahl N, so dass Folgendes gilt:

1/n < ε   für alle n ∈∈ ℕ mit n > N.

 Q15
Es sei r ∈∈ ℚ⁺ und p eine von 0 verschiedene natürliche Zahl. Dann gibt es genau eine positive Zahl x ∈∈ ℝ  mit x^p = r.

Merkwürdig: In ℚ und in ℝ gelten die gleichen Rechenregeln (sowohl (ℚ,+,·) als auch (ℝ,+,·) sind Körper). Beide Körper sind angeordnet durch Ordnungsrelationen „<“ mit gleichen Eigenschaften. Sowohl die Menge der rationalen Zahlen als auch die Menge der reellen Zahlen sind metrische Räume mit der gleichen Metrik. Beide Zahlenmengen umfassen unendlich viele Elemente. Wieso sind Gleichungen vom Typ G3, also xⁿ = r mit n ∈∈ ℕ* und r ∈∈ ℚ⁺, in ℚ im Allgemeinen nicht lösbar, aber in ℝ immer? Irgendetwas muss in ℝ grundsätzlich anders sein als in ℚ. Aber was? Die Antwort lautet: ℝ ist im Gegensatz zu ℚ vollständig und die Elemente von ℝ lassen sich nicht zählen.

Nach dieser Definition ist natürlich jede endliche Menge und jede Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen abzählbar. Überraschend ist der folgende Satz:

 Q16
Die Menge aller rationalen Zahlen ℚ ist abzählbar.

 Q17
Die Menge aller reellen Zahlen ℝ ist nicht abzählbar.

(Zum Schluss dieses Abschnitts wird die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen bewiesen, ohne die Tatsache zu benutzen, dass jede reelle Zahl in eine Dezimalzahl entwickelt werden kann.)

In ℚ gibt es Cauchyfolgen, die nicht konvergent sind, das heißt, die keinen rationalen Grenzwert besitzen. Man kann nun zeigen, dass in ℝ alle Cauchyfolgen konvergieren und dies macht ℝ zu einem vollständigen metrischen Raum.

Zunächst lassen sich die Definitionen der Begriffe „Cauchyfolge“ und „Nullfolge“ für rationale Zahlenfolgen mit bestimmten Eigenschaften problemlos auf reelle Zahlenfolgen übertragen:

 Q18
Der Grenzwert einer konvergenten Zahlenfolge ist stets eindeutig bestimmt.

 Q19
Eine konvergente Folge (x_n) ist immer beschränkt:

x_n → x  (n → ∞)  ⇒ ∃s > 0: |x_n| ≤ s  für alle  n ∈∈ ℕ.

Die Umkehrung des vorstehenden Satzes ist nicht richtig! Eine beschränkte Folge kann durchaus mehrere Häufungsstellen haben und ist dann nicht konvergent.

 Q20 (Grenzwertsätze für Folgen)
Seien (x_n) und (y_n) zwei konvergente Zahlenfolgen mit x_n → x und y_n → y (n → ∞). Dann sind auch die Folgen (x_n + y_n) und (x_n·y_n) konvergent und es gilt 

(i)     (x_n + y_n) → x + y  (n → ∞)
(ii)     (x_n·y_n) → x·y  (n → ∞).

Falls x_n ǂ 0 für alle n ∈∈ ℕ und x ǂ 0, so ist auch die Folge (1/x_n) konvergent und es gilt

(iii)    (1/x_n) → 1/x (n → ∞).

Nimmt man in (ii) für (x_n) die konstante Folge (c_n) = c, c, c, ..., welche trivialerweise gegen c konvergiert, dann folgt sofort die Konvergenz der Folge (c·y_n) und es ist

(iv)     (c·y_n) → c·y  (n → ∞).

Setzt man c = −1, dann folgt aus (iv) zusammen mit (i) noch

(v)     (x_n − y_n) → x − y  (n → ∞).

Es folgen drei Beispiele konvergenter Zahlenfolgen:

Beispiel 1: Die Folge (x_n), definiert durch x_n = 1/n für n ∈∈ ℕ mit n > 1, konvergiert gegen 0.

Beispiel 2: Sei (x_n) eine Lucas-Folge, dann konvergiert die Folge der Quotienten aufeinander folgender Lucas-Zahlen stets gegen den goldenen Schnitt Φ, falls x₀ > 0 und x₁ > 0.

Beispiel 3:  Die Folge (x_n), definiert durch x_n = n√n für n ∈∈ ℕ mit n > 1, konvergiert gegen 1.

 Q21
Zu jeder reellen Zahl x gibt es eine rationale Zahlenfolge (r_n) mit r_n → x (n → ∞).

Aus diesem Satz folgt, dass jede irrationale Zahl beliebig genau durch eine rationale Zahl angenähert werden kann; oder mit anderen Worten ausgedrückt: Die rationalen Zahlen liegen dicht in ℝ.

 Q22 (Cauchy’sches Konvergenzkriterium)
Eine reelle Zahlenfolge (x_n) ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist.

Aus Q22 folgt unmittelbar

 Q23
ℝ ist ein vollständiger metrischer Raum.

Der folgende Satz beschreibt eine weitere fundamentale Eigenschaft der reellen Zahlen:

 Q24 (Satz von Bolzano-Weierstraß)
Jede beschränkte (unendliche) reelle Zahlenfolge enthält mindestens eine konvergente Teilfolge.

Dieser Satz bedeutet: Hat man eine reelle Zahlenfolge (x_n) mit einer Schranke s ∈∈ ℝ, das heißt |x_n| ≤ s für alle n ∈∈ ℕ, dann gibt es eine natürliche Zahlenfolge n₀ < n₁ < n₂ < ..., so dass die Folge (x_nj)_j=0..∞  konvergiert.

 Q25 (Monotoniekriterium)
Jede monoton steigende und nach oben beschränkte bzw. jede monoton fallende und nach unten beschränkte reelle Zahlenfolge ist konvergent.

Das Monotoniekriterium ist ganz wesentlich, wenn es im Folgenden darum geht, Intervallschachtelungen zu untersuchen.

Mit beliebigen Intervallschachtelungen innerhalb von ℝ findet man immer jeweils eine reelle Zahl. ℝ hat keinerlei Lücken! Dies macht die Eigenschaft der Menge der reellen Zahlen, vollständig zu sein, möglicherweise noch anschaulicher.

 Q26
Jede Intervallschachtelung hat einen und nur einen inneren Punkt.

Dass jede Intervallschachtelung in ℝ genau einen inneren Punkt besitzt, lässt sich auch anders formulieren, und zwar mit Hilfe des Begriffs des Dedekind’schen Schnitts: 

Ist M eine nichtleere Teilmenge von ℝ und s eine obere Schranke von M (das heißt: für alle x ∈∈ M gilt x ≤ s), so soll im Folgenden „M ≤ s“ geschrieben werden. Entsprechend soll „s ≤ M“ bedeuten, dass s eine untere Schranke von M ist.

 Q27
Zu jedem Dedekind’schen Schnitt (M_u, M_o) gibt es genau eine reelle Zahl s mit

M_u ≤ s ≤ M_o.

 Q28
Sei M eine beliebige nichtleere Menge reeller Zahlen. Ist M nach oben beschränkt, so besitzt M eine obere Grenze; ist M nach unten beschränkt, so besitzt M eine untere Grenze. Im Falle ihrer Existenz sind sowohl sup M als auch inf M eindeutig bestimmt.

Der vorstehende Beweis macht deutlich, dass die Aussagen von Q28 keinesfalls selbstverständlich sind. Wesentlicher Bestandteil des Beweises ist die Tatsache, dass ℝ bezüglich „≤“ linear geordnet ist.

Die Zahlengerade ist ein anschauliches Hilfsmittel, um die Menge der reellen Zahlen zeichnerisch darzustellen. Zu jedem Punkt P auf der Zahlengerade gehört genau eine reelle Zahl x und umgekehrt. Auf jedem Abschnitt der Zahlengerade befinden sich überabzählbar unendlich viele Punkte, so wie es in jedem Teilintervall von ℝ überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen gibt.

Sowohl die Quadratwurzel von 2 als auch die Kreiszahl π sind reell und doch sind diese beiden Zahlen grundverschieden. Die Quadratwurzel von 2 ist als Lösung der Gleichung x²− 2 = 0 eine algebraische Zahl, die Kreiszahl dagegen ist eine transzendente Zahl. Was heißt das?

Beispiel:
Das Polynom 2x³− 5x² − 3x ist nicht irreduktibel, denn es gilt 2x³ − 5x² − 3x = (2x + 1)·(x² − 3x).

 Q29
Die Menge aller reellen algebraischen Zahlen ist abzählbar unendlich.

Dies bedeutet, dass man alle reellen algebraischen Zahlen der Reihe nach aufzählen kann:

ω₀, ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ....

Diesen Beweis hat erstmals Georg Cantor 1874 im ersten Teil seines Aufsatzes über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen veröffentlicht. Noch viel bemerkenswerter ist allerdings der Inhalt des zweiten Teils seines Aufsatzes:

 Q30
Gegeben sei irgendeine reelle Zahlenfolge (x_n) und ein beliebig vorgegebenes Intervall (a, b) ⊂ ℝ. Dann gibt es immer eine reelle Zahl x mit a < x < b, die kein Folgenglied von (x_n) ist.

Mit Q29 und Q30 folgt sofort

 Q31 (Satz von Liouville)
In jedem beliebig vorgegebenen reellen Zahlenintervall gibt es unendlich viele transzendente Zahlen.

1873 konnte Charles Hermite beweisen, dass die Euler’sche Zahl e transzendent ist; Carl Louis Ferdinand von Lindemann bewies 1882 die Transzendenz der Kreiszahl π.

Die Menge der komplexen Zahlen

Die Gleichung

ist in ℝ nicht lösbar, wenn a < 0. Eine reelle Quadratzahl ist stets positiv!

In der Menge der komplexen Zahlen dagegen ist die Gleichung (G4) sehr wohl lösbar.

Mit

(a; b) + (c; d)  =_def  (a + c; b + d)  und
(a; b) · (c; d)  =_def  (ac− bd; ad + bc)

kann man in ℂ addieren und multiplizieren, und zwar automatisch auf wohldefinierte Weise, da die vorstehenden Definitionen auf der wohldefinierten Addition bzw. der Multiplikation in ℝ beruhen.

Mit 0 =_def (0; 0) als Nullelement und 1 =_def (1; 0) als Einselement ist (ℂ,+,·) ein Körper. Man kann leicht nachrechnen, dass die komplexe Zahl

(a/a² + b²; −b/a² + b²)

das inverse Element zu (a; b) ∈∈ ℂ \ {(0; 0)} ist.

Mit f: ℝ → ℂ, definiert durch f(a) = (a; 0) für alle a ∈∈ ℝ lässt sich ℝ mit Imf ⊂ ℂ identifizieren, mit anderen Worten: ℝ lässt sich in ℂ einbetten.

Mit Hilfe der speziellen komplexen Zahl (0; 1), die man imaginäre Einheit nennt und mit i bezeichnet, gelingt es, alle Zahlen (a; b) ∈∈ ℂ so hinzuschreiben, dass man bequem mit ihnen rechnen kann.
Es gilt nämlich (a; b) = (a; 0) + (0; b) = (a; 0) + (b; 0)·i  für alle a, b ∈∈ ℝ, kurz geschrieben:

(a; b) = a + b·i.

Wegen i² = (0; 1)(0; 1) = (−1; 0) ist i ist nichts anderes als die Lösung der Gleichung x² = −1. Anders ausgedrückt:

i = √−1.

Die Definition der Operationen „+“ und „·“ auf ℂ ist gerade so gemacht worden, dass man mit komplexen Zahlen genau so rechnen kann wie mit reellen Zahlen:

Seien z₁ und z₂ zwei beliebige komplexe Zahlen, dann gilt also

(z₁ + z₂)* = z₁* + z₂*
(z₁ · z₂)* = z₁* · z₂*
(z₁/z₂)* = z₁*/z₂*.

Die letzte dieser drei Gleichungen gilt selbstverständlich nur dann, wenn z₂ von 0 + 0·i verschieden ist.

Für die Norm einer komplexen Zahl  z = a + b·i  gilt

∥z∥ = a² + b².

Wenn man sich die komplexen Zahlen durch Punkte in der Gauß'schen Zahlenebene veranschaulicht, dann ist die Norm einer komplexen Zahl z gleich dem Quadrat des Abstandes derjenigen Punkte, die z beziehungsweise (0; 0) repräsentieren.

Für alle z₁, z₂ ∈∈ ℂ gilt:

∥z₁ + z₂∥  ≤  ∥z₁∥ + ∥z₂∥
∥z₁·z₂∥ = ∥z₁∥·∥z₂∥.

Die erste dieser beiden Aussagen ist die sogenannte Dreiecksungleichung in ℂ.

Das Einbettungsprinzip

Das gleiche Prinzip, welches zur Konstruktion der Zahlensysteme wesentlich benutzt wurde (die Formulierung einer neuen Menge von Zahlen mit der Möglichkeit, die zuvor bekannten und bereits vertrauten Zahlenmengen in die neu konstruierte Menge einzubetten) wird - falls irgend möglich - auch bei der Konstruktion anderer Systeme verwendet. Ein Beispiel ist die Konstruktion von Theorien (hier verstanden als Mengen von Aussagen, die anhand empirischer Untersuchungen nachprüfbar sind).

Die klassische Mechanik beispielsweise (eine physikalische Theorie, die die Bewegungen von Körpern und die gegenseitige Wechselwirkung von Körpern vollständig beschreiben sollte und vor allem von Isaac Newton gegen Ende des 17. Jahrhunderts erstmalig formuliert wurde), stellte sich im Laufe der Zeit als unzureichend heraus. Dies soll heißen, dass Fragen aufgetaucht sind, die sich mit der klassischen Theorie nicht lösen ließen. Werner Heisenberg und andere nahmen dies Anfang des letzten Jahrhunderts zum Anlass, eine neue Theorie zu entwickeln (die Quantenmechanik), welche

• die innerhalb der klassischen Mechanik nicht lösbaren Fragen lösen konnte und
• die alte Theorie sozusagen als Sonderfall beinhaltet.

Die klassische Mechanik ist damit eingebettet worden in die neue Theorie der Quantenmechanik. Sie ist durch die neue Theorie nicht falsch geworden, sondern man hat erkannt, dass sie nur unter gewissen Randbedingungen gültig ist.

Ganz Entsprechendes gilt etwa für die Weiterentwicklung technischer Systeme, etwa für die Verbesserung von Maschinen oder von Softwarepaketen. Das Einbettungsprinzip fordert von dem Softwarehersteller eines Programms TOLL.03, dass z.B. alle mit Hilfe dieses Programms erstellten Dateien unter der neuen Version TOLL.04 weiter verwendet werden können. Die Probleme, die sich durch diese Forderung in der Praxis ergeben, sind ziemlich verzwickt und sehr viel komplexer als diejenigen, die bei der Entwicklung der Zahlensysteme zu lösen waren. Das bekommen die Anwender solcher Programme TOLL.xxx immer wieder leidvoll zu spüren, wenn sich bei der Verwendung verschiedener Versionen des gleichen Programms Inkompatibilitäten einstellen.

Außer dem Einbettungsprinzip gibt es in diesem Zusammenhang noch etwas von zentraler Bedeutung: Die Fortentwicklung (irgendwelcher) Systeme gelingt nur dann fehlerfrei (das heißt zum Beispiel: widerspruchsfrei bei der Entwicklung logischer oder mathematischer Systeme oder: absturzsicher bei der Entwicklung von Computersystemen), wenn ein wohldefinierter und damit gut durchdachter Anfang gesetzt wurde.

Der Anfang der betrachteten Kette von Zahlenmengen

ℕ . ℤ . ℚ . ℝ . ℂ ...

stellt die Menge der natürlichen Zahlen dar, deren Gesetze zu Anfang schlicht vorausgesetzt wurden.

Merkwürdigerweise spiegelt der Anfang dieser Systemkette, also ℕ, in seiner Struktur das wider, was für die Systemkette als Ganzes wichtig war:

1. Anfang setzen
2. Fortentwickeln.

Literatur- und Quellenangaben:

Johann Bernhard Friederich:
Lehrbuch der Arithmetik für die lateinischen Schulen in Bayern.
Verlag von Friedrich Campe, Nürnberg 1831

Bernhard Bolzano:
Paradoxien des Unendlichen.
C.H. Reclam sen., Leipzig 1851

Ernst Schröder:
Lehrbuch der Arithmetik und Algebra für Lehrer und Studirende.
B.G. Teubner, Leipzig 1873

Gottlob Frege:
Die Grundlagen der Arithmetik.
Wilhelm Koebner, Breslau, 1884

Richard Dedekind:
Was sind und was sollen die Zahlen?
Friedrich Vieweg Verlag, 1887

Edmund Landau:
Grundlagen der Analysis (erstmals erschienen 1930 in Leipzig), ergänzt und kommentiert von Heinz Dalkowski.
Berliner Studienreihe zur Mathematik, Band 11, Heldermann, Lemgo 2004

Franz von Krbek:
Über Zahlen und Überzahlen.
B.G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig, 1969

Erhard Heinz:
Differential- und Integralrechnung I (Vorlesungsscript).
Hrsg. Mathematisches Institut der Universität Göttingen, 1972

Dieter Schmersau / Wolfram Koepf:
Die reellen Zahlen als Fundament und Baustein der Analysis.
Oldenbourg, München 2000

Robert Zobel:
Diskrete Strukturen.
Reihe Informatik, Band 49, BI-Wissenschaftsverlag, Zürich,1987

Dietmar Henke:
Diskrete Mathematik (Vorlesungsscript).
Hochschule Bremerhaven, 1991