Funktion

Die Körperlänge in Abhängigkeit vom Alter

Wenn ein Kind älter wird, dann ändert sich seine Körpergröße - mal mehr, mal weniger. Mein ältester Sohn zum Beispiel war 54cm lang als er geboren wurde, nach einem Jahr war er bereits 76cm groß, mit 16 Jahren hatte er eine Körperlänge von 176cm, und heute (mit mehr als 40 Jahren) ist er 183cm groß und wächst natürlich gar nicht mehr.
Die Abhängigkeit der Körperlänge vom Alter lässt sich mit einem Schaubild darstellen:

Zu jedem Lebensalter gehört genau eine bestimmte Körperlänge. In mathematischer Sprache heißt dies: Die Körperlänge lässt sich darstellen als Funktion vom Lebensalter. Die umgekehrte Aussage („Zu jeder Körperlänge gehört genau ein bestimmtes Lebensalter“) ist falsch! Zum Körperlängenwert 183cm lassen sich beliebig viele Lebensalterwerte finden (18, 18½, 19, ... und unendlich viele Zwischenwerte); zum Körperlängenwert 20cm gehört gar kein Lebensalterwert.

Der Kreisumfang in Abhängigkeit vom Kreisradius

Der Umfang eines Kreises (U) lässt sich darstellen als Funktion vom Radius r. Kurz geschrieben lautet diese Aussage so:

U = f(r)

Das Verhältnis des Kreisumfangs zum Kreisradius ist konstant. Das bedeutet: Wenn der Radius eines Kreises doppelt so groß ist wie der Radius eines anderen Kreises, dann ist der Umfang des ersten Kreises genau doppelt so groß wie der Umfang des kleineren Kreises. Allgemeiner: Wird der Radius eines Kreises ver-n-facht, dann wird der Umfang dieses Kreises auch n-mal so groß. Man sagt in diesem Fall: Der Kreisumfang U ist proportional zum Kreisradius r (→ Beweis).

U = 2·π·r

Die Kreiszahl π ist ungefähr gleich 3,14. Das heißt, der Umfang eines Kreises ist stets ungefähr 6,3mal so groß wie sein Radius.

Der Anhalteweg in Abhängigkeit von der Fahrgeschwindigkeit

Viele wissen es gar nicht, und die, die es wissen, kümmern sich nicht immer darum. Dabei geht es hier oft um Leben oder Tod von Menschen im Straßenverkehr: Die Abhängigkeit des Anhalteweges (s in Metern) von der Fahrgeschwindigkeit (v in km/h). Diese Abhängigkeit wird auf Grund physikalischer Gesetze durch eine quadratische Funktion beschrieben. Die Funktionsgleichung dieser Funktion lautet folgendermaßen:

s = f(v) = k·v² + t_R·v

Hierbei ist t_R die Reaktionszeit der Autofahrerin oder des Autofahrers. t_R kann sehr unterschiedlich sein und unter Umständen einige Sekunden betragen! Der Faktor k hängt von der Bremsverzögerung des Autos (a in m/s²) ab:

k = 1/2a

Auch a ist wie t_R keine Konstante, sondern hängt ab von der Beschaffenheit der Reifen, dem momentanen Zustand der Bremsen und den Eigenschaften der Straße.

Das folgende Diagramm zeigt Schaubilder der Funktion f  für verschiedene Werte von t_R bzw. von a:

 

Die törichte Regel „Sicherheitsabstand = halber Tachostand in Metern“ gilt selbst unter günstigsten Bedingungen (Reaktionszeit 0,7 Sekunden, Bremsverzögerung 8m/s²) allenfalls bei Geschwindigkeiten unter 60 km/h.

Der Zerfallsprozess eines radioaktiven Präparates

Am 26. April 1986 wurden durch die Explosion im vierten Reaktorblock des Kernkraftwerks Tschernobyl große Mengen radioaktiven Materials freigesetzt und über weite Teile Europas verteilt. Ein radioaktiver Stoff, dem unter anderem in diesem Zusammenhang eine große Bedeutung zukommt, ist Cäsium-137.

Cäsium-137 besitzt eine Halbwertszeit von etwa 30,2 Jahren. Das heißt, dass nach dieser Zeit die Hälfte einer bestimmten Menge Cäsium zerfallen ist; nach abermals 30,2 Jahren gibt es noch ein Viertel der ursprünglich vorhandenen und radioaktiven Cäsiummenge; nach weiteren 30,2 Jahren noch ein Achtel u.s.w.

So ein radioaktiver Zerfallsprozess lässt sich mit Hilfe einer Exponentialfunktion beschreiben. Wenn man zu Beginn beispielsweise 100g Cäsium-137 zur Verfügung hat, dann hat man zur Zeit t noch

100g · 0,5^t/30,2

Cäsium-137. Hierbei wird t in Jahren gemessen. Das zugehörige Schaubild sieht danach so aus:

Allgemein gilt:

M = f(t) = M₀· 0,5^t/T

Hierbei ist M₀ die Anfangsmenge und T die Halbwertszeit.

Die Bewegung eines Punktes auf einer Kurve

Wenn sich auf einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um den Koordinatenursprung rotierenden Radialstrahl ein Punkt P befindet, dessen Abstand zum Koordinatenursprung sich gleichzeitig gleichförmig vergrößert, dann durchläuft dieser Punkt eine sogenannte Archimedische Spirale. Die formale Beschreibung einer solchen Bewegung und damit auch gleichzeitig die der Bewegungskurve ist recht einfach, wenn man hierfür einen Parameter benutzt. Im hier dargestellten Beispiel dient die Zeit t als Parameter. Der Punkt P befindet sich zur Zeit t = 0 in seiner Startposition, also im Koordinatenursprung.

Gibt man die jeweilige Position des Punktes P mit Hilfe von Polarkoordinaten (r,φ) an, dann lauten die Bewegungsgleichungen

φ = a·t
r = b·t

a und b sind Konstanten, die angeben, wie schnell der Radialstrahl rotiert bzw. wie schnell sich der Punkt P vom Koordinatenursprung entfernt.

Entwicklung des Funktionsbegriffs

Leonhard Euler (1707−1783) verstand in seinem 1748 erschienenen Werk „INTRODUCTIO IN ANALTSIN INFINITORUM“ unter einer Funktion einer veränderlichen Größe einen analytischen Ausdruck, der irgendwie aus der veränderlichen Göße und aus Zahlen oder konstanten Größen zusammengesetzt ist. Wenn man dieses in die heutige mathematische Sprache übersetzt, denkt man am ehesten an Funktionsterme wie 2·π·r für den Umfang eines Kreises in Abhängigkeit vom Kreisradius r (siehe oben) oder etwa an ρ·V als Ausdruck für die Masse eines Körpers, der multiplikativ zusammengesetzt ist aus der konstanten Dichte ρ und dem Körpervolumen V als veränderlicher Größe. Eine ganz ähnliche Definition hatte bereits 30 Jahre zuvor Johann Bernoulli (1667−1748) gegeben.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805−1859) gab die Vorstellung von zwei unbedingt gesetzmäßig miteinander verknüpften Größen ganz auf und sprach von einer Funktion bereits dann, wenn zu jedem Wert einer veränderlichen Größe x innerhalb eines bestimmten Intervalls genau ein endlicher Wert von y gehört. Bei dieser Auffassung spielt es grundsätzlich keine Rolle, auf welche Art y und x miteinander verknüpft sind. Damit man von einer Funktion y von x sprechen kann, ist es allein entscheidend, dass die Werte von y den Werten von x jeweils eindeutig zugeordnet sind. Die Idee zu dieser radikalen Änderung des Funktionsbegriffs stammt von Jean Baptiste Joseph Fourier (1768−1830) und hatte wesentlich damit zu tun, dass es zum Beispiel in der Physik reale Abhängigkeiten gibt, die sich nicht mit Hilfe eines Funktionsterms beschreiben lassen (es gibt sogar Funktionen mit realem Bezug, die man überhaupt nicht explizit mit Hilfe von Termen darstellen kann).

An der Dirichlet’schen Auffassung des Funktionsbegriffs hat sich von der Idee her nichts geändert; heute werden die Begriffe „Abbildung“ und „Funktion“ üblicherweise wie folgt definiert:

Felix Hausdorff (1868−1942) hat 1914 im Rahmen seiner Grundzüge der Mengenlehre eine Funktion als Menge geordneter Paare definiert - auf Grundlage einer mengentheoretischen Definition des Begriffs „geordnetes Paar“ (vgl. Relationen und Funktionen im Kapitel Menge).

Beispiele für Relationen und Funktionen

 Beispiel 1:

Die schwarzen Punkte im obenstehenden Diagramm veranschaulichen einige Elemente der Produktmenge ℕxℕ. Die roten Punkte gehören zur Relation R = {(x;y): y = x + 1} ⊂ ℕxℕ. Diese Relation induziert eine Abbildung f: ℕ → ℕ mit der Zuordnungsvorschrift

x ↦ x + 1.

Diese Abbildung ist injektiv, denn zu jedem Bild f(x) gehört genau ein Urbild x. Die Abbildung ist aber nicht surjektiv, denn 0 ∈∈ ℕ besitzt kein Urbild.

 Beispiel 2:
Die trigonometrische Funktion sin ist eine Funktion von ℝ nach ℝ.
Wenn man die Zielmenge ℝ dieser Funktion einschränkt auf das abgeschlossene Intervall [−1; 1], das aus allen Zahlen zwischen −1 und 1 besteht (einschließlich −1 und 1 selbst), dann erhält man eine rechtsvollständige Funktion von ℝ auf [−1; 1]. Wenn man darüberhinaus auch noch den Definitionsbereich einschränkt auf [−0,5π; 0,5π], dann bekommt man sogar eine bijektive und damit umkehrbare Funktion.

 Beispiel 3:
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P ist eine reellwertige Funktion von ℘(S) nach [0; 1], wobei S die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments darstellt. Abkürzend geschrieben:

P: ℘(S) → [0; 1].

 Beispiel 4:
Die konstante Funktion f_c: ℝ → {c} mit c ∈∈ ℝ ist eine sehr langweilige Funktion. Sie ordnet jeder reellen Zahl x ∈∈ ℝ den Wert c zu. Mit anderen Worten: f_c(x) = c für alle x ∈∈ ℝ.
Die Funktion f_c: ℝ → {c} ist surjektiv, aber natürlich nicht injektiv.

 Beispiel 5:
Die babylonische Keilschrifttafel Plimpton 322 (irgendwann zwischen 1900 bis 1600 v.Chr. in Mesopotamien angefertigt, 1920 von George Arthur Plimpton (1855−1936) gefunden, vom Mathematikhistoriker Otto Neugebauer (1899−1990) und dem Archäologen Abraham Sachs 1945 dechiffriert und heute in der Universität von Columbia aufbewahrt) gilt als die älteste erhaltene Wertetabelle überhaupt.

Aufgrund der Arbeiten von Neugebauer und Sachs wissen wir, dass die Keilzeichen auf dieser Tontafel Sexagesimalzahlen darstellen. Das Sexagesimalsystem verwendet die Zahl 60 als Basis. Die babylonischen Sexagesimalzeichen sehen wie folgt aus (darunterstehend die Übersetzung dieser Zeichen in Dezimalzahlen):

Die zwölfte Zeile der Plimptontabelle zum Beispiel sieht im Wesentlichen so aus:

Diesen Keilzeichenketten können Sexagesimalziffernkombinationen zugeordnet werden:

Interpretiert man nun diese Ziffernkombinationen wie folgt

c = 48·60¹ + 49 = 2929
a = 27·60¹ + 59 = 1679
1 + 29/60 + 21/60² + 54/60³ + 0/60⁴ + 2/60⁵ + 15/60⁶ ≈ 1,489417,

dann findet man überraschende Zusammenhänge: 2929 und 1679 bilden zusammen mit 2400 ein pythagoräisches Zahlentripel, und es gilt

sec²(α) = c²/2400² = 8579041/5760000 ≈ 1,489417.

Für die anderen Zeilen der Keilschrifttafel lassen sich analoge Aussagen aufstellen (allerdings nur dann, wenn man zuvor fünf anscheinend fehlerhafte Einträge auf der Tafel korrigiert hat). Mit anderen Worten: Die erste Spalte der Plimptontafel beinhaltet ausgewählte Funktionswerte der Funktion sec²; hier aufgefasst als zweistellige Funktion von a und c, wobei c die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks darstellt und a die Gegenkathete des Winkels α bedeutet.

(a, c)  ↦  sec²(a, c)

sec heißt Sekansfunktion und es gilt sec(α) = 1/cos(α) und somit sec²(a, c) = c²/c² − a². Mit b² = c² − a² ergibt sich sec²(a, c) = 1 + a²/b².

Dass die Werte für a und c auf der Keilschrifttafel rechts und die aus diesen Werten berechneten sec²(a, c)-Werten links stehen, ist verständlich, wenn man weiß, dass die Babylonier von rechts nach links geschrieben haben.

Interessant ist es zu untersuchen, ob die sec²-Werte auf der Keilschrifttafel irgendwelche besonderen Eigenschaften haben oder ob es sich um zufällig ausgewählte Werte handelt. Besser gefragt: Haben die Urbilder (a, c) der auf der Keilschrifttafel tabellierten sec²-Werte etwas Besonderes an sich?

Jedes dieser Urbilder (a, c) definiert ein pythagoräisches Zahlentripel (a, b, c), das heißt: a, b und c sind natürliche und von 0 verschiedene Zahlen und es gilt c² = a² + b².

Zum Beispiel ist (3, 4, 5) ein primitives pythagoräisches Zahlentripel; (16, 30, 34) ist ein pythagoräisches Zahlentripel, welches nicht primitiv ist.

Für jedes primitive pythagoräische Zahlentripel (a, b, c) mit a < b gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen p und q, so dass Folgendes gilt:

a = p² − q²
b = 2·p·q
c = p² + q²

p und q sind teilerfremde Zahlen.
Genau eine dieser Zahlen p und q ist gerade, die jeweils andere ist ungerade.

Es liegt nahe, jetzt die folgende Relation R_pq als Teilmenge von ℕ*xℕ* zu definieren: (p, q) soll genau dann ein Element von R_pq sein, wenn p ungerade und q gerade oder wenn umgekehrt p gerade und q ungerade und wenn in jedem dieser Fälle p größer als q ist und wenn p und q teilerfremd sind.

Beispielsweise ist das zu (2, 1) ∈∈ R_pq gehörige primitive pythagoräische Zahlentripel (3, 4, 5); zu (7, 4) ∈∈ R_pq gehört das primitive pythagoräische Zahlentripel (33, 56, 65).

Definiert man die Abbildung  

ppz: R_pq → ℕ*x ℕ*x ℕ*

für alle (p, q) ∈∈ R_pq durch

ppz((p, q)) =_def (p² − q², 2·p·q, p² + q²),

dann ist ppz(R_pq) gleich der Menge aller primitiven pythagoräischen Zahlentripel.

Der Algorithmus zur Erzeugung von Elementen der Menge ppz(R_pq) ist nicht schwierig:

Im Zusammenhang mit der Plimptontabelle sind nun folgende Definitionen sinnvoll.

2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, ... sind reguläre Sexagesimalzahlen, denn 2, 3 und 5 sind die Primteiler von 60.
(320, 27) zum Beispiel ist ein 60-reguläres Tupel, denn 320 ist größer als 27, 320 und 27 sind teilerfremd, 320 ist gerade und 27 ist ungerade, und die Primfaktorzerlegungen beider Zahlen lauten 320 = 2⁶·5 bzw. 27 = 3³, also gibt es außer den Primteilern von 60 keine anderen Primfaktoren. Kurz geschrieben: (320, 27) ∈∈ R_pq⁶⁰.

Ein von einem 60-regulären Tupel (p, q) erzeugter sec²(a, c)-Wert hat immer eine endliche Sexagesimalbruchentwicklung.

Das folgende, mit JavaScript realisierte Programm berechnet für jedes (p, q) ∈∈ R_pq⁶⁰ mit p ≤ p_max die Werte für a, b, c, sec²(a, c) und den zugehörigen Winkel a. Hierbei werden alle Werte in dezimaler Schreibweise und gerundet angegeben. Diejenigen Zeilen, zu denen Winkel gehören, die größer als 31,5° und kleiner als 45° sind, werden mit einem Sternchen gekennzeichnet. Genau diese Sternchen-Zeilen entsprechen den Zeilen der Plimptontabelle! Dies stimmt nicht ganz, denn erstens  hat der Schreiber der Plimptontafel manche der Sternchen-Zeilen entweder nicht gekannt, vergessen oder nicht berücksichtigt und zweitens entspricht die fünfzehnte (und gleichzeitig letzte) Zeile der Plimptontabelle  nicht den oben diskutierten Kriterien der Sternchen-Zeilen, weil das dort dargestellte pythagoräische Zahlentripel nicht primitiv ist.

Maximal kann man hier für p_max den Wert 200 eintragen (anschließend auf "Berechnen" klicken):

pmax =

In der folgenden Tabelle sind alle Sternchen-Zeilen mit p ≤ 500 zusammengestellt und nach c²/b² in absteigender Reihenfolge sortiert. Diejenigen Tabellenzeilen, die die ersten vierzehn Zeilen der Plimptontafel beschreiben, sind entsprechend duchnummeriert und farbig gekennzeichnet.

Neugebauer hat entdeckt, dass bei der originalen Plimptontafel die c-Spalte mit dem Zeichen für „diagonal“ und die a-Spalte mit dem Zeichen für „breit“ überschrieben ist. Dieses Faktum könnte nach der Analyse der Plimptontabelle zur Vermutung führen, dass den babylonischen Mathematikern der sogenannte Satz des Pythagoras bekannt war und dass sie diesen für die Beschreibung von Winkeln benutzt haben. Hierbei muss ihnen die Primfaktorzerlegung von Zahlen vertraut gewesen sein.

Auf jeden Fall haben sie offensichtlich in tabellarischer Form die funktionale Abhängigkeit zwischen Zahlen darzustellen und für welchen Zweck auch immer anzuwenden gewusst. Die Struktur der Plimptontabelle kann unter Beachtung der oben stehenden Definitionen und unabhängig vom verwendeten Stellenwertsystem zusammenfassend als Verkettung so beschrieben werden:

(p, q) ↦ ppz((p, q)) ↦ (a, c) ↦ sec²(a, c) ↦ α 
für alle (p, q) ∈∈ R_pq⁶⁰.

Beispiel 6: 
Die Funktion f: [−4; 5] → ℝ³ mit

f(t) = [3·t²; 10·t; 4·t]

ordnet jeder reellen Zahl t zwischen −4 und 5 den Punkt P_t(3t²|10t|4t) zu und beschreibt damit eine räumliche Kurve. Nimmt man diese Kurve als Mittellinie eines Schlauches mit kreisrundem Querschnitt (Radius = 15), dann sieht dieser Schlauch wie folgt aus:

Diese Grafik wurde mit dem Programm Maple erstellt.   

Beispiel 7: 
Das nachfolgende Schaubild ist eine Darstellung der Relation

R = {(x;y): x³ − y³ = x − y; x ∈ [−2;2]; y ∈∈ [−2;2]}

([−2;2], [−2;2], R) ist keine Funktion, denn es ist nicht jedem x ∈∈ [−2;2] ein und nur ein y-Wert zugeordnet.

Umkehrfunktionen

Sei D eine Teilmenge von ℝ und f eine injektive Funktion von D nach ℝ. Dann gibt es zu jedem y ∈∈ f(D) ein x ∈∈ D mit f(x) = y und dieses x ist eindeutig bestimmt. Aus diesem Grund lässt sich die folgende Definition formulieren:

Die Umkehrfunktion einer Funktion f ist offenbar injektiv und es gilt (f⁻¹)⁻¹ = f sowie (f⁻¹◦f)(x) = x und (f◦f⁻¹)(y) = y für jedes x ∈∈ D bzw. jedes y ∈∈ f(D). Hierbei bedeuten f⁻¹◦f und f◦f⁻¹ die Verkettung von f mit f⁻¹ bzw. von f⁻¹ mit f.

Die Funktion f von ℝ⁺ nach ℝ mit f(x) = x² ist streng monoton wachsend, also injektiv. f(ℝ⁺) = ℝ⁺. Ihre Umkehrfunktion f⁻¹ ist für y ∈∈ ℝ⁺ gegeben durch f⁻¹(y) = +√y. Das Schaubild einer solchen Umkehrfunktion erhält man durch Spiegelung des Schaubildes der Ursprungsfunktion an der Geraden y = x, sofern die Koordinatenachsen identisch skaliert sind:

 

 U1
Sei D = [a, b] und f eine auf D definierte und dort stetige Funktion. Dann ist f genau dann injektiv, wenn f streng monoton ist, das heißt, wenn aus x < y entweder f(x) < f(y) oder f(x) > f(y) folgt. Es gilt f(D) = [f(a), f(b)] und f(]a, b[) = ]f(a), f(b)[.

 U2
Sei D ein abgeschlossenes Intervall und f eine auf D definierte und dort stetige und injektive Funktion. Dann ist f⁻¹ auf f(D) stetig.

 U3
Sei D ein abgeschlossenes Intervall und f eine auf D definierte und dort stetige und injektive Funktion. Sei ferner f in x₀ ∈∈ D differenzierbar. Wenn f’(x₀) ǂ 0 gilt, so ist f⁻¹ in y₀ = f(x₀) differenzierbar und es gilt

(f⁻¹)’(y₀) = 1/f’(x₀).