Reihe

Die Mādhava-Leibniz-Reihe

Im vom indischen Mathematiker und Astronom Nīlakaṇṭha Somayājī um 1500 geschriebenen Werk Tantrasaṅgraha findet sich eine von Mādhava etwa 100 Jahre zuvor entdeckte Anleitung zur Berechnung der Kreiszahl π, in heutiger Schreibweise:

π/4 =  1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − 1/11 + −...

Es ist eine der verblüffendsten und schönsten Formeln der Mathematik: π ist nach dieser Formel darstellbar mit einer alternierenden und nicht abbrechenden Summe aller Bruchzahlen mit ungeraden Nennern. Die Folge der Partialsummen der Mādhava-Reihe

1, 1 − 1/3, 1 − 1/3 + 1/5, 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7, ...

konvergiert leider recht langsam, wie das folgende Diagramm und auch die Tabelle einiger Näherungswerte von π zeigen.

 

Hierbei ist

S_n = n∑k = 0 (−1)^k1/2k+1.

Auch Gottfried Wilhelm Leibniz hat die Reihe von Mādhava gefunden und 1682 in der Zeitschrift Acta Eruditorum veröffentlicht. Deshalb spricht man heute von der „Mādhava-Leibniz-Reihe“. Um die Gültigkeit der Formel

π = 4·∞∑k = 0 (−1)^k1/2k+1

beweisen zu können, muss man zuvor einen langen und teilweise beschwerlichen Weg zurücklegen, der im folgenden Diagramm stichwortartig skizziert ist:

Summenfolgen und Summen

Beginnt die Nummerierung der Summanden einer Reihe nicht bei 0, sondern bei einer natürlichen Zahl i, die größer als 0 ist, so erhält man Reihen der folgenden Form:

∞∑k = ia_k = a_i + a_i+1 + a_i+2 + ...

und die obigen Definitionen gelten entsprechend (man ersetze das jeweilige „k = 0“ durch „k = i“).

S1
Ist A die Summe der konvergenten Reihe ∞∑k = 0a_k, B die der konvergenten Reihe ∞∑k = 0b_k und c eine Konstante, dann gelten die folgenden Rechenregeln:

(I)    ∞∑k = 0a_k +∞∑k = 0b_k  = ∞∑k = 0(a_k + b_k) = A + B 
(II)    ∞∑k = 0a_k −∞∑k = 0b_k  = ∞∑k = 0(a_k − b_k) = A − B 
(III)    ∞∑k = 0c·a_k  = c∞∑k = 0a_k = c·A.

S2
Wenn eine Reihe konvergent ist, so strebt die Folge ihrer Glieder gegen 0.

S3 (Cauchy’sches Konvergenzkriterium für Reihen)
Eine Reihe ∞∑k = 0a_k  konvergiert genau dann, wenn zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl n₀ existiert, so dass  |n∑k = n₀+1a_k | < ε  für alle n > n₀.

Mit S3 hat man unmittelbar den folgenden Satz:

S4
Gegeben sei die Reihe ∞∑k = 0a_k  und eine beliebige natürliche Zahl n. Dann konvergiert ∞∑k = 0a_k  genau dann, wenn ∞∑k = na_k  konvergiert.

S5
Gegeben sei eine konvergente Reihe ∞∑k = 0a_k  und eine beliebige natürliche Zahl n. Dann gilt

∞∑k = 0a_k  = n∑k = 0a_k  +∞∑k = n+1a_k .

S6
Die harmonische Reihe ∞∑k = 1 1/k ist divergent.

Am Beispiel der harmonischen Reihe sieht man, dass die Umkehrung vom Satz S2 nicht gilt! Für die Konvergenz einer Reihe ist es nur notwendig, dass die Folge ihrer Summanden gegen 0 strebt, aber nicht hinreichend. Mit anderen Worten: Wenn die Folge der Summanden einer Reihe eine Nullfolge ist, folgt nicht, dass diese Reihe konvergent ist.

S7
Die geometrische Reihe konvergiert gegen  1/1 − x , falls |x| < 1 und divergiert, falls |x| ≥ 1.

S8
Die Euler’sche Reihe

∞∑k = 01/k! = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...

ist konvergent. Der Grenzwert dieser Reihe ist irrational.

Charles Hermite hat 1873 darüberhinaus bewiesen, dass e eine transzendente Zahl ist.

S9
Die Zahlenfolge (e_n), definiert durch

e_n = (1 + 1/n)ⁿ  für alle n ∈∈ ℕ*

ist konvergent und es gilt e_n → e (n → ∞).

Das nachfolgende Diagramm illustriert das sehr unterschiedliche Konvergenzverhalten der Folgen (E_n) (rot) und (e_n) (blau):

Achilleus und die Schildkröte

Von Zenon, einem antiken Philosophen des fünften vorchristlichen Jahrhunderts, der in Elea lebte, stammt die folgende Erzählung: Achilleus und eine Schildkröte beabsichtigen, einen Wettlauf zu veranstalten. Unter der Voraussetzung, dass Achilleus der Schildkröte zu Beginn einen gewissen Vorsprung gewährt, argumentiert Zenon nun, dass die langsamere Schildkröte vom schnelleren Achilleus niemals eingeholt werden wird, denn „das Verfolgende muss nämlich zuvor dort ankommen, von wo das Fliehende losgelaufen ist, und so muss das Fliehende immer etwas voraus sein“ (zitiert nach Aristoteles’ Physik, VI. Buch, 9. Kapitel). Dies soll mit der folgenden Zeichnung veranschaulicht werden, wobei hierbei willkürlich angenommen wurde, dass Achilleus (rot) doppelt so schnell ist wie die Schildkröte (grün):

Zur Startzeit t₀ laufen beide mit jeweils konstanter Geschwindigkeit los. Wenn Achilleus zur Zeit t₁ am Startort der Schildkröte eintrifft, ist die Schildkröte bereits eine bestimmte Strecke voraus gelaufen, und zwar hat sie innerhalb der Zeitspanne t₁ − t₀ genau die halbe Strecke zurückgelegt im Vergleich zu Achilleus, wenn dieser - wie in diesem Beispiel vorausgesetzt - doppelt so schnell ist als seine Konkurrentin. Und so geht das fortlaufend weiter, denn immer, wenn Achilleus innerhalb einer Zeitspanne t_k+1 − t_k eine gewisse Strecke zurückgelegt hat, wird die Schildkröte ihm jeweils um die Hälfte dieser Strecke voraus sein.

Nun wird auch Zenon während seines Lebens, höchstwahrscheinlich mehrfach, wahrgenommen haben, dass ein Läufer einen langsameren Läufer bei einem nicht zu großen Vorsprung stets einholt. Dies kann man mit den physikalischen Gesetzen der gleichförmigen Bewegung auch nachrechnen: Der Startzeitpunkt t₀ sei gleich 0, d sei der Abstand zwischen Achilleus und der Schildkröte beim Start und x(t) die von der Zeit t abhängige Position von Achilleus bzw. der Schildkröte. Ist v_A die Geschwindigkeit von Achilleus und v_S die der Schildkröte, dann gilt x_A = v_A·t und x_S = d + v_S·t. Für die Position x_*, an welcher Achilleus die Schildkröte einholt, gilt v_A·t_* = d + v_S·t_* und hieraus ergibt sich nach wenigen Rechenschritten

x_* = d·v_A/v_A − v_S.

Für die speziellen Positionen x_k = x(t_k) des Achilleus im obigen Beispiel ist für k = 1,2,3,...

x_k+1 − x_k = 1/2·(x_k − x_k−1).

Allgemein gilt

x_k+1 − x_k = v_S/v_A·(x_k − x_k−1).

Das bedeutet, dass sich gemäß der Argumentation von Zenon die Laufstrecke des Achilleus als Reihe darstellen lässt:

d + v_S/v_A·d + (v_S/v_A)²·d + (v_S/v_A)³·d + ... .

Mit S7 und S1(III) folgt

d ·∞∑k = 0(v_S/v_A)^k = x_*,

eine Formel, die mitnichten das Paradoxon des Zenon erledigt, sondern dessen paradoxe Aussage, der schnellere Achilleus könne (entgegen aller Erfahrung) die langsamere Schildkröte nie einholen, nur auf eine andere - eben formale - Art darstellt. Es ist paradox, dass eine Reihe, die aus unendlich vielen Summanden besteht, einem endlichen Wert gleichgesetzt werden kann! Mit den Worten des Mathematikers und Philosophen Hermann Weyl formuliert: Wenn die Strecke x_* wirklich aus unendlich vielen Teilstrecken von der Länge (v_S/v_A)^k·d, k= 0,1,2,... „als ‚abgehackten‛ Ganzen besteht, so widerstreitet es dem Wesen des Unendlichen, des ‚Unvollendbaren‛, daß Achilleus sie alle schließlich durchlaufen hat“ (Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, 8. Auflage, S.61).

Konvergenzkriterien

Bevor die Summe einer konvergenten Reihe berechnet werden kann, muss zunächst immer erst die Konvergenz der jeweiligen Reihe nachgewiesen werden. Dieser Nachweis gelingt oft mit Hilfe der in diesem Abschnitt vorgestellten Kriterien.

K1 (Majorantenkriterium)
Jede Minorante einer konvergenten Reihe konvergiert.

K2 (Quotientenkriterium)

Sei ∞∑k = 0a_k  eine Reihe mit lauter positiven Summanden. Wenn es eine Zahl q mit 0 < q < 1 gibt, so dass

a_k+1/a_k ≤ q  für fast alle k,

so konvergiert die Reihe. Gilt dagegen

a_k+1/a_k ≥ 1  für fast alle k,

so ist die Reihe divergent.

K3 (Wurzelkriterium)

Sei ∞∑k = 0a_k  eine Reihe mit lauter nichtnegativen Summanden. Wenn es eine Zahl q mit 0 < q < 1 gibt, so dass

k√a_k ≤ q  für fast alle k,

so konvergiert die Reihe. Gilt dagegen

k√a_k ≥ 1  für fast alle k,

so ist die Reihe divergent.

Sei x irgendeine positive reelle Zahl. Dann konvergiert die Exponentialreihe für x

∞∑k = 0 x^k/k!,

was man mit dem Quotientenkriterium nachweisen kann: Für alle k > x gilt nämlich

x^k+1/(k+1)!·k!/x^k = x/k+1 < x/x+1 < 1.

Diese Argumentation setzt voraus, dass es immer möglich ist, zu jeder reellen Zahl x eine natürliche Zahl zu finden, die größer als x ist. Dies ist aber der Fall, denn die reellen Zahlen sind archimedisch angeordnet.

Die folgenden Diagramme zeigen das Verhalten der Summandenfolge (a_k)_k=0..∞  bzw. der zugehörigen Summenfolge (n∑k = 0a_k)_n=0..∞  mit a_k = x^k/k! für x = 11.

K4 (Leibnizkriterium)
Eine alternierende Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Summanden eine Nullfolge ist.

Aus K4 folgt zum Beispiel, dass die alternierende harmonische Reihe

∞∑k = 1(−1)^k+11/k

konvergiert. Die Konvergenz ist allerdings sehr schlecht, wie das folgende Diagramm zeigt:

K5
Eine absolut konvergente Reihe konvergiert.

K6
Werden in einer absolut konvergenten Reihe beliebig viele Glieder umgeordnet, so ist auch die neu entstehende Reihe absolut konvergent und die Summen beider Reihen haben denselben Wert.

Der Wert der Summe einer bedingt konvergenten Reihe (also einer konvergenten, aber nicht absolut konvergenten Reihe) ist von der Reihenfolge der Summanden nicht unabhängig! Zum Beispiel gilt

1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + 1/7 − 1/8 + ... = 0,693147...
1 + 1/3 − 1/2 + 1/5 + 1/7 − 1/4 + 1/9 + 1/11 − 1/6 + ... = 1,03972...

Die Ungleichheit beider Summenwerte lässt sich nachweisen, ohne diese numerisch kennen zu müssen:

Gleichmäßige Konvergenz

In diesem Abschnitt sei D stets ein Intervall reeller Zahlen, k eine natürliche Zahl und (f_k) eine Folge von auf D definierten reellwertigen Funktionen.

Eine Funktionenfolge (f_k) ist also genau dann (punktweise) konvergent auf D mit der Grenzfunktion g, wenn es zu jedem x ∈∈ D und zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl k₀ gibt, so dass für alle k ≥ k₀

|f_k(x) − g(x)| < ε 

gilt.

Die Vermutung liegt nahe, dass sich gemeinsame Eigenschaften der Glieder einer konvergenten Funktionenfolge automatisch auf die Grenzfunktion dieser Funktionenfolge übertragen. Diese Vermutung erweist sich als falsch, wie das folgende Beispiel zeigt: Mit

f_k(x) =_def x^k  für  k = 1, 2, 3, ...

hat man eine konvergente Funktionenfolge auf dem Intervall [0, 1]. Alle f_k sind stetig auf [0, 1], aber die Grenzfunktion g mit g(x) = 0 für 0 ≤ x < 1 und g(x) = 1 für x = 1 ist offensichtlich nicht stetig.

Es wird sich herausstellen, dass sich die Stetigkeit nur dann auf die Grenzfunktion überträgt, wenn die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert.

Die hier formulierte Bedingung ist leicht zu verwechseln mit der oben im Zusammenhang mit der gewöhnlichen punktweisen Konvergenz hingeschriebenen Bedingung. Man beachte, dass hier die Existenz einer Zahl k₀ gefordert wird, welche nur vom vorgegebenen ε abhängt; oben aber ist k₀ von ε und vom zuvor gewählten x abhängig. Bei gleichmäßiger Konvergenz gilt die Ungleichung |f_k(x) − g(x))| < ε für alle x ∈∈ D gleichermaßen, bei punktweiser Konvergenz gilt diese Ungleichung für das jeweils gewählte (also für das punktuelle) x ∈∈ D, in beiden Fällen natürlich nur für diejenigen k, welche größer oder gleich k₀ sind.

G1
Konvergiert eine Funktionenfolge (f_k) auf D gleichmäßig gegen g und sind alle f_k in x₀ ∈∈ D stetig, so ist auch g in x₀ stetig.

G2
Sei (f_k) eine auf D gleichmäßig gegen g konvergente Folge. Jede der Funktionen f_k sei in x₀ ∈∈ D stetig. Dann gibt es zu jedem ε > 0 eine Umgebung U von x₀ und eine natürliche Zahl k₀, so dass für x ∈∈ U ∩ D und k ≥ k₀

|f_k(x) − f(x₀)| < ε

gilt.

Die Definitionen und Aussagen über Funktionenfolgen gelten in entsprechender Weise auch für Funktionenreihen:

Gemäß der Definition der gleichmäßigen Konvergenz für Funktionenfolgen konvergiert eine Reihe ∞∑k = 0f_k  genau dann gleichmäßig auf D gegen s, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl n₀ gibt, so dass für alle n ≥ n₀ und für alle x ∈∈ D

| s(x) − n∑k = 0f_k(x) | < ε 

gilt. Wenn eine Funktionenreihe ∞∑k = 0f_k  gleichmäßig auf D gegen s konvergiert und alle f_k in x₀ ∈∈ D stetig sind, so ist wegen G1 ihre Grenzfunktion s ebenfalls in x₀ stetig.

G3 (Cauchy-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe)
Die Funktionenreihe ∞∑k = 0f_k  konvergiert genau dann gleichmäßig auf D, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl n₀ gibt, so dass für alle n > n₀ und für alle x ∈∈ D

|n∑k = n₀+1f_k(x) | < ε 

gilt.

G4
Eine absolut konvergente Funktionenreihe konvergiert und eine sowohl absolut als auch gleichmäßig konvergente Funktionenreihe konvergiert gleichmäßig.

Es folgen ein paar Beispiele für gleichmäßig konvergente und für nur punktweise konvergente Funktionenreihen.

Beispiel 1.
Die geometrische Reihe konvergiert auf dem offenen Intervall (−1, 1) punktweise und nach S7 gilt

∞∑k = 0x^k = 1/1 − x.

Wegen |x^k| = |x|^k für k = 0,1,2,... konvergiert die Reihe auf (−1, 1) auch absolut. Allerdings konvergiert ∞∑k = 0x^k  dort nicht gleichmäßig: Man wähle zwei natürliche Zahlen n₀ und b beliebig aus, wobei b nur größer als 0 sein muss. Es gilt

∞∑k = n₀+1x^k = x^n₀+1·∞∑k = 0x^k = x^n₀+1/1 − x.

Sei nun ε = 1/b, m = n₀+1 und x_* = b^−1/m , dann folgt

| ∞∑k = n₀+1x_*^k | = 1/b · 1/1 − x_* > 1/b.

Aber: ∞∑k = 0x^k konvergiert gleichmäßig auf jedem abgeschlossenen Intervall [−r, r] sofern 0 < r < 1, denn dann gilt für jedes n und unabhängig von x

| ∞∑k = n+1x^k | ≤ rⁿ⁺¹/1 − r.

Weil (rⁿ⁺¹/1 − r) eine Nullfolge ist, folgt mit G3 die gleichmäßige Konvergenz von ∞∑k = 0x^k auf [−r, r].

Beispiel 2.
Die Summenfolge (n∑k = 0 x/(1+x²)^k) ist nicht gleichmäßig konvergent.

Beispiel 3.
Die Summenfolge (n∑k = 0 x²/k²+x²) konvergiert in jedem abgeschlossenen reellen Intervall gleichmäßig, konvergiert aber auf ganz ℝ nur punktweise.

G5 (Weierstraß’sches Majorantenkriterium)
Sei ∞∑k = 0a_k  eine konvergente Reihe mit lauter nichtnegativen Summanden und ∞∑k = 0f_k  eine Reihe von auf D definierten Funktionen. Wenn dann für jedes x ∈∈ D und fast alle k 

|f_k(x)| ≤ a_k

gilt, so konvergiert ∞∑k = 0f_k  absolut und gleichmäßig auf D.

Potenzreihen

Die geometrische Reihe ist die einfachste Potenzreihe. Sie hat den Entwicklungspunkt 0 und alle ihre Koeffizienten sind gleich 1. Diese Reihe konvergiert absolut im Intervall (−1, 1), absolut und gleichmäßig in jedem abgeschlossenen Teilintervall von (−1, 1) und divergiert außerhalb von [−1, 1] (siehe Beispiel 1). Diese Konvergenzeigenschaften sind typisch für alle Potenzreihen, wie sich gleich zeigen wird.

P1
Wenn eine Potenzreihe ∞∑k = 0a_k(x − x₀)^k  für einen Wert x₁ konvergiert, so konvergiert sie absolut für jedes x mit |x − x₀| < |x₁ − x₀|. Für jedes x mit dieser Eigenschaft gibt es zwei positive reelle Zahlen s und q mit q < 1, so dass für alle k

|a_k|·|(x − x₀)^k| ≤ s·q^k

gilt. Hierbei kann − falls x₁ ǂ x₀ und x ǂ x₀ ist −

q = |x − x₀/x₁ − x₀|

gesetzt werden. s ist von x unabhängig.

Sei M die Menge aller (x − x₀), für die die Potenzreihe ∞∑k = 0a_k(x − x₀)^k  konvergiert (M ist wegen x₀ ∈∈ M nicht leer) und sei s ein Wert, für den die Potenzreihe nicht konvergiert. Wegen P1 ist dann s eine obere Schranke von M und es existiert das eindeutig bestimmte Supremum von M, der so genannte Konvergenzradius dieser Potenzreihe.

Nach dem Beweis von P1 lässt sich nunmehr zusammenfassend Folgendes sagen:

P2
Wenn vom trivialen Fall x = x₀ abgesehen wird, konvergiert eine Potenzreihe ∞∑k = 0a_k(x − x₀)^k  nirgendwo (dann setzt man r = 0), oder sie konvergiert innerhalb des Konvergenzintervalls (x₀ − r, x₀ + r) absolut und divergiert außerhalb des abgeschlossenen Intervalls [x₀ − r, x₀ + r], oder sie konvergiert für alle reellen Zahlen (in diesem Fall wird r = ∞ gesetzt). Sowohl für x₀ − r als auch für x₀ + r kann man keine allgemeingültige Aussage treffen.
Ist r > 0, so gibt es zu jedem positiven r₁ < r ein s > 0, so dass für alle x mit |x − x₀| < r₁ und jedes k

 | a_k||x − x₀|^k  ≤ s·q^k

gilt, wobei q = |x − x₀|r₁.

Darüberhinaus gilt der folgende Satz:

P3
Ist der Konvergenzradius einer Potenzreihe ∞∑k = 0a_k(x − x₀)^k  größer als 0, so konvergiert diese in jedem abgeschlossenen Teilintervall des Konvergenzintervalls K absolut und gleichmäßig.

Mit G1 folgt unmittelbar

P4
Hat eine Potenzreihe einen positiven Konvergenzradius, so ist die Grenzfunktion dieser Reihe auf dem Konvergenzintervall stetig.

P5 (Satz von Cauchy-Hadamard)
Sei ∞∑k = 0a_k(x − x₀)^k  eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius r.
Falls die Folge (k√|a_k|)_k=1..∞  gegen 0 strebt, so ist r = ∞; konvergiert diese Folge gegen eine positive Zahl g, so gilt r = 1/g; falls limk→∞k√|a_k| = ∞ gilt, so ist r = 0.

Es folgen einige Beispiele von Potenzreihen.
Der Konvergenzradius der Reihe ∞∑k = 0(k·x)^k  ist offensichtlich gleich 0, dagegen konvergiert die Exponentialreihe für alle reellen Zahlen. Die geometrische Reihe hat den Konvergenzradius 1 und konvergiert weder für x = 1 noch für x = −1.

Die Reihe ∞∑k = 1x^k/k  hat den Konvergenzradius 1 und konvergiert für x = −1, divergiert jedoch für x = +1. Die Reihe ∞∑k = 1 x^k/k²  hat ebenfalls den Konvergenzradius 1 und konvergiert sowohl für x = −1 als auch für x = +1.

Eine Potenzreihe ist im Innern ihres Konvergenzintervalls differenzierbar. Die Ableitung einer Potenzreihe erhält man durch gliedweises Differenzieren. Um dies beweisen zu können, wird zunächst der folgende Satz benötigt:

 P6
Sei D ein Intervall und (f_k) eine Folge von auf D differenzierbaren Funktionen. Alle Ableitungen f_k’ seien stetig auf D. Wenn dann (f_k) gegen g konvergiert und (f_k’) gegen g* gleichmäßig konvergiert, so ist g differenzierbar und es ist g’ = g*. Das heißt: Wenn alle hier genannten Voraussetzungen erfüllt sind, so gilt

d/dxlim k→∞f_k = lim k→∞df_k/dx.

Aus P6 folgt unmittelbar

 P7
Sei D ein Intervall und (f_k) eine Folge von auf D differenzierbaren Funktionen. Alle Ableitungen f_k’ seien stetig auf D. Wenn dann  ∞∑k = 0f_k  gegen g konvergiert und ∞∑k = 0f_k  gleichmäßig konvergiert, so ist g differenzierbar und es gilt

d/dx ∞∑k = 0f_k  = ∞∑k = 0f_k’.

 P8
Sei  ∞∑k = 0a_k(x − x₀)^k  eine Potenzreihe mit dem Konvergenzintervall K. Dann ist die durch

f(x) =_def ∞∑k = 0a_k(x − x₀)^k

auf K definierte Funktion f differenzierbar und es gilt

f’(x) =∞∑k = 1k·a_k(x − x₀)^k−1.

∞∑k = 1k·a_k(x − x₀)^k−1  besitzt wie die Ursprungsreihe auch das Konvergenzintervall K.

Sei D ein offenes Intervall reeller Zahlen, x₀ ∈∈ D und f eine auf D definierte Funktion. Wenn es dann eine Potenzreihe ∞∑k = 0a_k(x − x₀)^k gibt, die in einer Umgebung von x₀ gegen f konvergiert (man sagt dann: „f ist um x₀ in eine Potenzreihe entwickelbar“), so gilt für x ∈∈ D

f(x) = ∞∑k = 0a_k(x − x₀)^k.

Taylorpolynome und Taylorreihen

Polynome haben eine übersichtliche Struktur, sind auf ganz ℝ definiert, dort überall differenzierbar und ihre Ableitungen sind einfach (die Ableitung des Polynoms n∑k = 0a_k·x^k  ist nach D10 und D12 gleich n∑k = 1k·a_k·x^k − 1). Es liegt nahe, sich die Frage zu stellen, ob und − wenn ja − wie und unter welchen Voraussetzungen eine gegebene Funktion mit Hilfe von Polynomen angenähert dargestellt werden kann. Anders gefragt: Kann man (möglicherweise auch komplizierte) Funktionen durch ganzrationale Funktionen approximieren? Der britische Mathematiker Brook Taylor (1685−1731) fand 1712 die Antwort: Ja, das kann man, und zwar mit den nach ihm benannten Taylorpolynomen, sofern die zu approximierende Funktion genügend oft differenzierbar ist.

Sei f eine auf D definierte Funktion, x₀ ∈∈ D und f in x₀ n-mal differenzierbar. Der Wert des Polynoms p(x), welches f innerhalb einer gewissen Umgebung von x₀ approximieren soll, wird sicherlich mit dem Funktionswert von f an der Stelle x₀ übereinstimmen müssen. Außerdem sollten sich f und p in ihrem Änderungsverhalten an der Stelle x₀ möglichst nicht voneinander unterscheiden, das heißt, die jeweiligen Ableitungen von p bzw. f sollten in x₀ übereinstimmen. Gesucht ist also ein Polynom n-ten Grades

p(x) = n∑k = 0a_k(x − x₀)^k,

so dass für alle s = 0, 1, ..., n

p^(s)(x₀) = f^(s)(x₀)

gilt. Differenziert man p(x) s-mal, dann ergibt sich wegen D12 zusammen mit D10 und D11

p^(s)(x) = n∑k = sk·(k−1)·...·(k−(s−1))·a_k·(x − x₀)^k−s

und hieraus folgt für alle s = 0, 1, ..., n

p^(s)(x₀) = s!·a_s,

womit das gesuchte Polynom gefunden ist.

 T1 (Taylor’scher Satz)
Sei D ein halboffenes Intervall ( [x₀, c) oder (c, x₀] ), f eine auf D definierte und in x₀ mindestens (n+1)-mal differenzierbare Funktion und T_n,x0(x) das n-te Taylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt x₀. Sei ferner U eine Umgebung von x₀, so dass f⁽ⁿ⁾ auf U ∩ D existiert, x ∈∈ U und h =_def x − x₀.
Dann gibt es eine für alle h mit x₀ + h ∈∈ D erklärte, in h = 0 stetige Funktion Δ, so dass Folgendes gilt:

 T2
Existiert f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) unter den Voraussetzungen von T1 nicht nur für x = x₀, sondern darüberhinaus für alle x ∈∈ U ∩ D, dann gilt für diese x

f(x) = T_n,x0(x) + R_n(x),

wobei es ein ξ zwischen x und x₀ gibt, so dass

R_n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)·(x − x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)!.

Das Langrange’sche Restglied R_n(x) ist für x = x₀ gleich 0 und lässt sich für x ǂ x₀ nach oben abschätzen. Man nehme hierfür zwei positive Zahlen k und ε, so dass für alle x ∈∈ U ∩ D  |f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| < k und |x − x₀| < ε gilt. Dann folgt

|R_n(x)| = |f(x) − T_n,x0(x)| < k·εⁿ⁺¹/(n+1)!.

Die Möglichkeit der Approximation einer Funktion durch ihre Taylorpolynome in einer gewissen Umgebung eines vorgegebenen Entwicklungspunktes x₀ soll mit der folgenden Animation illustriert werden. Hierzu sei f eine gebrochen-rationale Funktion, definiert durch

f(x) =_def 370 + 0,25x³ + 6,5x² − 108,5x/2x² − 25x + 80,

und x₀ = −2,5.

 T3
Sei D ein Intervall reeller Zahlen, x₀ ∈∈ D, f eine auf D definierte und in x₀ mindestens n-mal differenzierbare Funktion. Sei ferner D* ⊆ D mit x₀ ∈∈ D* und

p(x) = n∑k = 0a_k(x − x₀)^k

ein Polynom. Existiert dann eine auf D* definierte und in x₀ stetige Funktion q, so dass q(x₀) = 0 und für x ∈∈ D*

f(x) = p(x) + q(x)·(x − x₀)ⁿ

gilt, dann folgt a_k = f^(k)(x₀)/k! für alle k = 0, 1, ..., n.

Das bedeutet: Wenn es unter den Voraussetzungen dieses Satzes ein Polynom mit den genannten Eigenschaften gibt, dann ist es eindeutig bestimmt, und es ist T_n,x0(x), das n-te Taylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt x₀. Es gibt demnach keine Polynome, die f in einer vorgegebenen Umgebung genauso gut approximieren wie T_n,x0(x).

Ist eine Funktion auf einem Intervall unendlich oft differenzierbar, dann kann man dort zu jeder natürlichen Zahl das n-te Taylorpolynom dieser Funktion bilden. Aus diesem Grund ist die folgende Definition sinnvoll:

Es folgt zusammen mit T3 und P8 unmittelbar

 T4
Sei D ein offenes Intervall reeller Zahlen, x₀ ∈∈ D und f eine auf D definierte Funktion. Ist f um x₀ in eine Potenzreihe entwickelbar, dann ist f in einer Umgebung von x₀ unendlich oft differenzierbar und die Potenzreihe ist die Taylorreihe von f um x₀.

Ist f analytisch auf D, so ist f auf ganz D unendlich differenzierbar. Alle Ableitungen von f sind ebenfalls analytisch auf D.

 T5
Sei D eine zulässige Menge reeller Zahlen, f eine auf D definierte und dort überall unendlich differenzierbare Funktion und x₀ ∈∈ D. Gibt es dann zwei positive reelle Zahlen σ und δ, so dass für alle k > 0 und x ∈∈ U_δ(x₀) ∩ D

|f^(k)(x)|/k! δ^k ≤ σ

gilt, so konvergiert die Taylorreihe von f um x₀ in U_δ(x₀) ∩ D gegen f.

 T6
Sei ∞∑k = 0a_k(x − x₀)^k  eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius r. Dann ist die auf dem Konvergenzintervall K durch

f(x) =_def ∞∑k = 0a_k(x − x₀)^k

definierte Funktion f analytisch auf K.

 T7 (Identitätssatz für Potenzreihen)
Seien ∞∑k = 0a_k(x − x₀)^k  und ∞∑k = 0b_k(x − x₀)^k zwei Potenzreihen mit gleichem Entwicklungspunkt x₀ sowie positiven Konvergenzradien r_a bzw. r_b. Sei ferner U_ε(x₀) eine ε-Umgebung von x₀ mit ε < min(r_a, r_b) und f bzw. g durch

f(x) =_def ∞∑k = 0a_k(x − x₀)^k und
g(x) =_def ∞∑k = 0b_k(x − x₀)^k

auf U_ε(x₀) definierte Funktionen. Wenn dann für alle x ∈∈ U_ε(x₀)  f(x) = g(x) gilt, so folgt a_k = b_k für alle k = 0,1,2,..., das heißt, beide Potenzreihen sind in diesem Fall identisch.

Ist f eine ganzrationale Funktion n-ten Grades, so sind ihr Funktionsterm n∑k = 0a_k·x^k  und ihr n-tes Taylorpolynom von f mit 0 als Entwicklungspunkt wegen T2 und T3 identisch. Das Langrange’sche Restglied R_n(x) ist wegen f⁽ⁿ⁺¹⁾ ≡ 0 gleich 0. Sind x₀ und ξ₀ beliebige reelle Zahlen, so gilt für alle x ∈∈ ℝ

f(x) = T_n,x0(x) = T_n,ξ0(x).

Das Polynom n∑k = 0a_k·x^k  kann in jedem Fall in eine Potenzreihe ∞∑k = 0b_k·x^k  umgewandelt werden, wobei

b_k = a_k für k = 0,1,2,...,n
b_k = 0 für k > n.

Mit T7 folgt, dass alle Koeffizienten a_k eindeutig bestimmt sind.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein Polynom n-ten Grades höchstens n Nullstellen besitzt. Aus dem folgenden Satz T8 folgt demnach, dass eine auf ganz ℝ definierte ganzrationale Funktion n-ten Grades höchstens (n−1) lokale Extremwerte besitzen kann.

 T8
Sei D ein offenes Intervall und f eine auf D definierte und dort überall differenzierbare Funktion. Wenn dann f an der Stelle x₀ ein lokales Extremum (also ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum) besitzt, so gilt f’(x₀) = 0.

Das folgende Diagramm zeigt die Schaubilder einer ganzrationalen Funktion f und ihrer ersten, zweiten und dritten Ableitung. Es ist insbesondere ein Beispiel dafür, dass die Umkehrung von T8 nicht gültig ist. Hierfür wurde definiert: f(x) =_def 1/2x⁶ − 3x⁵ + 5x⁴.

 T9
Sei f eine in einer Umgebung U_δ(x₀) differenzierbare Funktion. Sei ferner U_links = (x₀ − δ, x₀) und U_rechts = (x₀, x₀ + δ). Dann besitzt f an der Stelle x₀ genau dann ein lokales Minimum, wenn für x ∈∈ U_links  f’(x) ≤ 0 und für x ∈∈ U_rechts  f’(x) ≥ 0 gilt. f besitzt an der Stelle x₀ genau dann ein lokales Maximum, wenn für x ∈∈ U_links  f’(x) ≥ 0 und für x ∈∈ U_rechts  f’(x) ≤ 0 gilt.

Dies bedeutet, dass f an einer Stelle x₀ dann und nur dann ein Extremum besitzt, wenn f’(x) beim Durchgang durch x₀ das Vorzeichen wechselt.

 T10
Sei f eine in x₀ n-mal differenzierbare Funktion. Sei ferner f^(k)(x₀) = 0 für k = 1,2,...,n−1  sowie f⁽ⁿ⁾(x₀) ǂ 0. Wenn n ungerade ist, so hat f an der Stelle x₀ kein lokales Extremum. Ist n gerade, so hat f an der Stelle x₀ ein lokales Minimum falls f⁽ⁿ⁾(x₀) > 0, bzw. ein lokales Maximun falls f⁽ⁿ⁾(x₀) < 0 ist.

Nicht-algebraische elementare Funktionen

Eine Funktion von ℝ nach ℝ wird in der Regel dann als elementar bezeichnet, wenn sie zu einer der folgenden Funktionenklassen gehört: ganzrationale Funktionen (einschließlich der konstanten Funktionen und der Potenzfunktionen), exponentielle und logarithmische Funktionen, trigonometrische Funktionen und deren Umkehrfunktionen, hyperbolische Funktionen und deren Umkehrfunktionen. Eine Funktion heißt auch dann elementar, wenn sie sich aus den genannten Funktionen in endlich vielen Schritten durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder Verkettung erzeugen lässt.

Einige der wichtigsten nicht-algebraischen elementaren Funktionen, nämlich exp, ln, sin, cos, tan, arcsin, arccos und arctan, sollen im Folgenden diskutiert werden.

Die natürliche Exponentialfunktion

Die Konvergenz der Exponentialreihe wurde bereits für positive Werte für x mithilfe des Quotientenkriteriums bewiesen. Demnach konvergiert diese Reihe absolut und mit K5 folgt die Konvergenz der Exponentialreihe für alle x ∈∈ ℝ, so dass folgende Definition möglich ist:

 L1
Es gilt

exp’ = exp.

Ist c eine Konstante, so folgt aus L1 zusammen mit der Faktorregel, dass auch

(c·exp(x))’ = c·exp(x)

gilt.

 L2 (Additionstheorem der Exponentialfunktion)
Für alle x₁,x₂ ∈∈ ℝ gilt

exp(x₁ + x₂) = exp(x₁)·exp(x₂).

Aus L2 folgt unmittelbar

exp(0) = 1 und
exp(x)·exp(−x) = 1.

Die Funktion exp nimmt also auf ganz ℝ niemals den Wert 0 an. Gäbe es ein x mit exp(x) < 0, so müsste es wegen exp(0) > 0 nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle von exp geben: Widerspruch! Es gilt also für alle x ∈∈ ℝ

exp(x) > 0.

Aus f’(x) = f(x) folgt f(x) = c·exp(x), denn mit der Quotientenregel hat man

(f(x)/exp(x))’ = f’(x)·exp(x) − exp(x)·f(x)/exp²(x) = 0

und hiermit

f(x)/exp(x) = konstant.

Mit exp(x) ist auch exp’(x) überall positiv, also ist exp streng monoton wachsend:

x < y ⇒ exp(x) < exp(y).

Wegen dieser Monotonie folgt zusammen mit exp(0) = exp’(0) = 1 für x > 0

exp(x) > 1 + x.

Es gibt also zu jeder positiven reellen Zahl s ein x₀, so dass für x ≥ x₀

exp(x) ≥ s

gilt. Mit anderen Worten: exp(x) strebt gegen ∞ für x → ∞. Hieraus folgt, dass für x → −∞ exp(x) gegen 0 strebt.

exp(1) ist gleich dem Grenzwert der Euler’schen Reihe, also gleich der Euler’schen Zahl:

exp(1) = e.

Der natürliche Logarithmus

exp ist streng monoton, also auch injektiv. Demnach besitzt exp eine Umkehrfunktion. Diese heißt natürlicher Logarithmus und wird mit ln bezeichnet.

 L3
Die Funktion ln ist auf ganz ℝ⁺ definiert.

 L4
Es gilt für x > 0

ln’(x) = 1/x.

 

 L5 (Additionstheorem des Logarithmus)
Für alle x₁,x₂ ∈∈ ℝ⁺ gilt

ln(x₁·x₂) = ln(x₁) + ln(x₂).

Wegen exp(0) = 1 und exp(1) = e gilt ln(1) = 0 und ln(e) = 1. Zusammen mit L5 folgt für x > 0 aus ln(1) = 0, dass ln(1/x) + ln(x) = 0 und damit hat man für x > 0 die Beziehung

ln(1/x) = −ln(x).

 L6
Sei die positive reelle Zahl x₀ fest, aber beliebig gewählt. Dann gilt für alle x mit |x − x₀| < x₀

ln(x) = ln(x₀) + ∞∑k = 1(−1)^k+1/k·x₀^k(x − x₀)^k.

ln ist also nach T6 eine auf ℝ⁺ analytische Funktion.

Setzt man x₀ = 1, so vereinfacht sich die eben bewiesene Formel. Dann gilt für x mit |x − 1| < 1

ln(x) = ∞∑k = 1(−1)^k+1/k(x − 1)^k

oder für x mit |x| < 1

ln(1 + x) = ∞∑k = 1(−1)^k+1/kx^k.

Der Mathematiker und Astronom Nikolaus Mercator hat diese Reihenentwicklung für den natürlichen Logarithmus entdeckt und 1668 als Erster veröffentlicht. Deshalb nennt man die Reihe

x − 1/2x² + 1/3x³ − 1/4x⁴ + 1/5x⁵ − 1/6x⁶ + −...

üblicherweise Mercator-Reihe.

Die Formel von Mercator ist auch für x = 1 gültig.

Hiermit folgt

ln(2) =  1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + −...,

eines der Kleinode der Mathematik.

Die Exponentialfunktion zur Basis a

Es folgt sofort, dass exp_a(x) nur positive Werte annehmen kann. Weiter rechnet man leicht nach, dass exp_a(0) = 1, exp_a(1) = a und exp₁(x) = 1, exp_e(x) = exp(x) sowie exp_a(−x) = (exp_a(x))⁻¹ für alle x ∈∈ ℝ. Für alle x₁,x₂ ∈∈ ℝ gilt außerdem

exp_a(x₁ + x₂) = exp_a(x₁)·exp_a(x₂).

Hieraus folgt sofort

exp_a(x + 1) = a·exp_a(x).

exp_a wächst dramatisch: Bei jedem Einerschritt, den man in x-Richtung additiv macht, erhält man den jeweils nächsten Funktionswert durch Multiplikation von exp_a(x) mit a.

 L7
Es seien p und q ganze Zahlen, wobei q von 0 verschieden sein soll. Mit r = p/q gilt

exp_a(r) = a^r = +q√a^p.

exp_a ist nach Definition stetig auf ganz ℝ. Auf der Grundlage von L7 ist so die folgende Definition möglich und sinnvoll:

Man rechnet leicht nach, dass die bekannten Rechenregeln für Potenzen mit natürlichen Exponenten gleichermaßen auch für Potenzen mit reellen Exponenten gelten.

Statt „exp(x)“ kann nun „e^x“ geschrieben werden. Die natürliche Exponentialfunktion wird deswegen auch meist nur kurz „e-Funktion“ genannt. Es gilt aufgrund der Definitionen

a^x = e^ln(a)·x.

Das folgende Diagramm zeigt die Schaubilder einiger Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen. Man sieht deutlich, dass relativ kleine Änderungen der Basis a relativ starke Änderungen der Funktionswerte a^x bewirken.

 

Haben Exponentialfunktionen Basen, die größer als 1 sind, können mit ihnen exponentielle Wachstumsprozesse, haben sie Basen, die kleiner als 1 sind, können mit ihnen exponentielle Zerfallsprozesse beschrieben werden. Im Kapitel Funktion findet sich ein Beispiel hierfür: Der Zerfallsprozess eines radioaktiven Präparates.

Der Logarithmus zur Basis a

Für a > 1 ist a^x streng monoton wachsend, für 0 < a < 1 streng monoton fallend. In beiden Fällen wird ℝ durch a^x auf ℝ⁺ also injektiv abgebildet, das heißt, dass für diese a^x Umkehrfunktionen existieren. Wie im Beweis von L3 zeigt man auch hier, dass ℝ durch a^x auf ℝ⁺ sogar bijektiv abgebildet wird, so dass die Umkehrfunktionen auf ganz ℝ⁺ definiert sind.

Der Logarithmus zur Basis e ist der natürliche Logarithmus ln.

Mit y = log_a(x) folgt x = a^y = e^ln(a)·y und hiernach ln(a)·y = ln(x). Daraus folgt

log_a(x) = ln(x)/ln(a).

Zusammen mit L5 folgt hieraus

log_a(x₁·x₂) = log_a(x₁) + log_a(x₂).

Für x > 0 gilt log_a(1) = log_a(1/x) + log_a(x) = 0 und damit hat man

log_a(1/x) = −log_a(x)

und deswegen gilt auch

log_a(x₁/x₂) = log_a(x₁) − log_a(x₂).

Im Kapitel Verhältnis kann man eine Anwendung dieser Gleichung studieren. Es geht dabei um musikalische Intervalle und wie diese vom menschlichen Ohr wahrgenommen werden.

Die trigonometrischen Funktionen sin und cos

Die Exponentialreihe ∞∑k = 0 x^k/k!  konvergiert für alle x ∈∈ ℝ. Also ist nach S2  (x^k/k!)  stets eine Nullfolge, so dass mit dem Leibnizkriterium in Verbindung mit F4 folgt, dass die alternierenden Reihen ∞∑k = 0 (−1)^kx^2k+1/(2k+1)!  und ∞∑k = 0 (−1)^kx^2k/(2k)!  auf ganz ℝ konvergent sind. Demnach sind die folgenden Definitionen möglich:

Die Sinusfunktion sin und die Kosinusfunktion cos sind also nach T6 analytische Funktionen auf ℝ. Aus den Definitionen von sin und cos folgt unmittelbar

sin(−x) = − sin(x)
cos(−x) = cos(x)

und zusammen mit P8

sin’ = cos
cos’ = − sin.

Ferner sieht man sofort, dass sin(0) = 0 und cos(0) = 1 gilt. Damit hat man

cos’(0) = −sin(0) = 0
und cos’’(0) = −cos(0) = −1.

Mit T10 folgt, dass cos an der Stelle 0 ein lokales Maximum besitzt.

 L8 (Additionstheoreme für sin und cos)
Für alle x₁,x₂ ∈∈ ℝ gilt

sin(x₁ + x₂) = sin(x₁)·cos(x₂) + cos(x₁)·sin(x₂)
cos(x₁ + x₂) = cos(x₁)·cos(x₂) − sin(x₁)·sin(x₂).

Ersetzt man im zweiten Additionstheorem x₂ durch −x₁, so folgt

 L9
Für alle x ∈∈ ℝ gilt

sin²(x) + cos²(x) = 1.

 L10
Die Funktion cos hat im Intervall [0, 2] genau eine Nullstelle.

Nach dieser Definition gilt also

cos(π/2) = 0.

Aus dem Beweis von L10, Teil (ii), folgt, dass sin(π/2) > 0 gilt. Also hat man wegen

sin²(π/2) + cos²(π/2)  = sin²(π/2) + 0 = 1
sin(π/2) = 1.

Aus den Additionstheoremen für sin und cos ergeben sich unmittelbar die Formeln

sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x),
cos(2x) = cos²(x) − sin²(x).

Hiermit hat man

sin(π) =  2 sin(π/2) cos(π/2)  = 0,
cos(π) =  cos²(π/2) − sin²(π/2) = −1.

 L11
sin und cos sind periodische Funktionen. Die Periode beider Funktionen ist gleich 2π, das heißt für alle x ∈∈ ℝ gilt

sin(x + 2π) = sin(x),
cos(x + 2π) = cos(x)

und aus sin(x + h) = sin(x) bzw. cos(x + h) = cos(x) folgt h = k·2π mit k ∈∈ ℤ.

 L12
Für alle x ∈∈ ℝ gilt

sin(π − x) = sin(x),
cos(π − x) = − cos(x).

 

Aus Symmetriegründen ergibt sich unmittelbar die Beziehung

sin(π/4) = cos(π/4).

Ein Beispiel für die Anwendung der Kosinusfunktion: Schwingt ein schwerer Gegenstand in einem zähen Medium, so wird die Schwingung durch Reibung gedämpft. Unter der Annahme, dass sich diese Reibung proportional zur Geschwindigkeit des schwingenden Körpers verhält und die Reibung nicht zu groß ist, lässt sich der Schwingungsvorgang durch eine Gleichung der folgenden Art beschreiben (siehe Maple-Worksheet Schwingungen):

x(t) = x₀·e^−kt·cos(ωt).

x(t) ist hierbei die Auslenkung des schwingenden Körpers relativ zu seiner Ruheposition in Abhängigkeit von der Zeit t. x₀ ist die Position des Körpers zur Zeit t = 0. Mit x₀ = 1, k = 0,2 und ω = 2 ergibt sich folgendes Schaubild:

 

Die Kreiszahl π

Die Definition von π als dem Zweifachen der kleinsten positiven Nullstelle von cos ist − wenn man sie zum ersten Mal liest − möglicherweise etwas irritierend, kennt man doch die Kreiszahl π normalerweise als Konstante, die das Verhältnis des Umfangs eines beliebig großen Kreises zu seinem Durchmesser angibt. Mit dem folgenden Satz wird eine Verbindung zwischen diesen zwei Aspekten der Kreiszahl hergestellt. Zum Beweis von L13 werden allerdings Rechengesetze der Integralrechnung benötigt:

 L13
Für den Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius 1 gilt

A = π.

 L14
Der Umfang eines Kreises mit dem Radius 1 ist gleich 2π.

Aus dem Vorangegangenen folgt ohne Weiteres

 L15
Der Umfang eines Kreises mit dem Radius r ist gleich 2πr. Der Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r ist gleich πr².

sin(x) und cos(x) geometrisch gedeutet

Mit dem Satz des Pythagoras, wonach in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe beider Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist, erhält man wegen L9 unter Beachtung von sin(0) = 0 und cos(π/2) = 0 sowie X76 eine geometrische Deutung der trigonometrischen Ausdrücke sin(x) und cos(x):

 L16

 

Hierbei ist x gleich der Länge des zum Winkel α gehörenden Kreisbogens mit dem Radius 1. Entgegen des Uhrzeigersinns (so wie in der Zeichnung zu sehen) wird x positiv, im Uhrzeigersinn negativ gerechnet.

Die trigonometrischen Funktionen tan und cot

Die Anwendung der Quotientenregel liefert

tan’(x) = 1/cos²(x) = 1 + tan²(x),

cot’(x) = − 1/sin²(x) = − (1 + cot²(x)).

 

Auch die Ausdrücke tan(x) und cot(x) lassen sich geometrisch deuten. Unter Verwendung der Strahlensätze ergibt sich das folgende Diagramm:

 

Arkusfunktionen

Schränkt man die jeweiligen Definitionsbereiche der trigonometrischen Funktionen auf folgende Intervalle ein: D_sin = [−π/2, π/2], D_cos = [0, π], D_tan = (−π/2, π/2) sowie D_cot = (0, π), so sind die Funktionen sin: D_sin → [−1, 1], cos: D_cos → [−1, 1], tan: D_tan → ℝ und cot: D_cot → ℝ allesamt bijektiv und damit umkehrbar. Die Umkehrfunktionen dieser Funktionen heißen Arkusfunktionen (oder zyklometrische Funktionen) und werden mit arcsin, arccos, arctan bzw. arccot, manchmal auch mit sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ bzw. mit cot⁻¹ bezeichnet.

 

Es gilt arccos(x) = π/2 − arcsin(x)  bzw.  arcsin(x) = π/2 − arccos(x).

Für x ∈∈ (−1, 1) gilt sin’(x) ǂ 0. Deswegen ist nach U3 arcsin auf (−1, 1) differenzierbar und es gilt

arcsin’(x) = 1/sin’(y) = 1/cos(y) = 1/+√1 − sin²(y) = 1/+√1 − x².

 

Es gilt arctan(x) = π/2 − arccot(x)  bzw.  arccot(x) = π/2 − arctan(x).

tan’(x) ist nirgendwo gleich 0; es gilt

arctan’(x) = 1/tan’(y) = 1/1 + tan²(y) = 1/1 + x².

 L17
Für alle x ∈∈ (−1, 1] gilt

arctan(x) = ∞∑k = 0 (−1)^kx^2k+1/2k+1.

Wegen sin(π/4) = cos(π/4) gilt tan(π/4) = 1 und mit L17 folgt die Formel, welche zu Beginn dieses Kapitels bereits vorgestellt wurde:

π/4 =  1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − 1/11 + −...

Literatur- und Quellenangaben:

Richard Courant:
Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung Band 1
Springer-Verlag, 4. Auflage 1971

Hans Grauert/Ingo Lieb:
Differential- und Integralrechnung I
Springer-Verlag, 2. Auflage 1970

Oliver Deiser:
Analysis I
www.aleph1.info 2021