Gottfried Wilhelm Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz, geboren 1646 in Leipzig, gestorben 1716 in Hannover, gilt als  Universalgelehrter. Er war Jurist, Historiker und Diplomat, zudem ein bedeutender Mathematiker, Philosoph und auch Physiker.

Als Hofrat und diplomatischer Gesandter weit gereist und viel beschäftigt, hat sich Leibniz zunächst mit der Mathematik mehr oder weniger nur nebenher beschäftigt. Umso bedeutender ist - nach Begegnungen mit Christiaan Huygens in Paris, John Pell in London und vielen anderen sowie nach intensivem Studium der zeitgenössischen Mathematik - seine Erfindung der Infinitesimalrechnung.

Isaac Newton, der diese damals geradezu revolutionäre neue Disziplin fast zeitgleich mit Leibniz aber unabhängig von diesem ebenfalls entwickelt hat, ging hierbei von kinematischen Überlegungen aus, Leibniz dagegen bevorzugte eine algebraische Herangehensweise. Genial und einfach zugleich waren die von Leibniz eingeführten Symbole, die wir heute noch benutzen, insbesondere dx, dy für „unendlich kleine“ Größen und ∫ als Summationszeichen (erst 1690 hat Jacob Bernoulli die Verwendung des Wortes „Integral“ vorgeschlagen).

Auch andere Schreibweisen stammen übrigens von Leibniz: der Multiplikationspunkt, die Benutzung von Indizes, die Verwendung der Potenzschreibweise „a^x“für variable Exponenten x und vieles andere.

1684 hat Leibniz seine neuen Rechenverfahren erstmalig veröffentlicht. Der Titel seiner Abhandlung lautete: Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus, auf deutsch: Eine neue Methode für Maxima und Minima, auch für Tangenten, die weder durch gebrochene noch durch irrationale Größen behindert wird, und ein einzigartiger Kalkül für jene. In diesem Aufsatz gibt Leibniz bereits ein Beispiel dafür an, wie man mit seinem neuen Kalkül Probleme sehr elegant lösen kann: die Herleitung des Snellius’schen Brechungsgesetzes aus dem Fermat’schen Prinzip.

1691 lösten Leibniz, Johann Bernoulli und Huygens unabhängig voneinander das alte Problem der Kettenlinie: Welche Kurve beschreibt eine in zwei Punkten L und R befestigte Kette, die aus gleichartigen, schweren und aneinander gekoppelten Kettengliedern besteht?

Auf jedes Kettenglied wirkt eine Zugkraft F (in der Zeichnung blau dargestellt). Die x-Komponenten dieser Kräfte sind allesamt gleich groß; die y-Komponente F_y  wächst gleichförmig mit der Anzahl der Kettenglieder bzw. mit der Länge s des Bogens zwischen U und dem Ort des jeweiligen Kettengliedes.

Denkt man sich nun die einzelnen Kettenglieder „sehr klein“ und bezeichnet mit ds den Mittenabstand benachbarter Kettenglieder, dann gilt für den relativen Zuwachs von F_y

dF_y/ds = konstant

und für F_y

F_y(s) = dF_y/ds·s.

Jeder resultierende Kraftvektor ist tangential zur Kettenlinie im jeweiligen Kurvenpunkt P(x|y). Deswegen gilt

dy/dx(x) = F_y(s)/F_x = c·s(x)

mit

c = dF_y/F_x·ds.

Unter Verwendung von

ds = √(dx)² + (dy)²

folgt

d²y/dx²(x) = c·√1 + (dy/dx(x))².

Diese Differentialgleichung wird gelöst durch

y = cosh(c·(x + a))/c + b.

mit beliebigen Konstanten a und b. In exponentieller Schreibweise lautet diese Gleichung

y = e^{(c·(x + a))} + e^{(−c·(x + a))}/2c + b.

Befindet sich der Scheitelpunkt U der Kettenlinie - so wie oben gezeichnet - auf der y-Achse, dann ist a = 0 und man erhält

y = e^(c·x) + e^(−c·x)/2c + b.

Wikipedia: Gottfried Wilhelm Leibniz
Harro Heuser: Aus den Anfängen der Infinitesimalrechnung
Leibniz-Edition: DIE AKADEMIE-AUSGABE