Funktion
ausführlich behandelt im Kapitel Mathematische Begriffe/Funktion
Leonhard Euler verstand in seinem
1748 erschienenen Werk „INTRODUCTIO IN ANALTSIN INFINITORUM“ unter einer
Funktion einer veränderlichen Größe einen analytischen Ausdruck, der
irgendwie aus der veränderlichen Göße und aus Zahlen oder konstanten Größen
zusammengesetzt ist. Wenn man dieses in die heutige mathematische Sprache
übersetzt, denkt man am ehesten an Funktionsterme wie 3·x2,
5·x−7 oder etwa an π·r als Ausdruck für
den Kreisumfang in Abhängigkeit vom
Kreisradius r.
Dirichlet gab die Vorstellung von zwei unbedingt gesetzmäßig miteinander verknüpften Größen y und x ganz auf und sprach von einer Funktion bereits dann, wenn zu jedem Wert einer veränderlichen Größe x innerhalb eines bestimmten Intervalls genau ein endlicher Wert von y gehört. Bei dieser Auffassung spielt es grundsätzlich keine Rolle, auf welche Art y und x miteinander verknüpft sind. Damit man von einer Funktion y von x sprechen kann, ist es allein entscheidend, dass die Werte von y den Werten von x jeweils eindeutig zugeordnet sind. An dieser Auffassung des Funktionsbegriffs hat sich von der Idee her nichts geändert; heute werden die Begriffe „Abbildung“ und „Funktion“ üblicherweise wie folgt definiert:
Seien X und Y irgendwelche Mengen und
R ⊆ { (x;y): x ∈∈ X und y ∈∈ Y }
eine Relation zwischen X und Y mit den folgenden Eigenschaften:
(1) Zu jedem x ∈∈ X gibt es ein y ∈∈ Y,
so dass (x;y) ∈∈ R gilt (Linksvollständigkeit
von R).
(2) Aus x = x* folgt y = y* für alle (x;y), (x*,y*) ∈∈ R (Rechtseindeutigkeit von R).
Dann nennt man das Tripel f = (X, Y, R) eine Funktion (oder Abbildung) von X nach Y und schreibt dafür
f: X → Y.
X heißt Definitionsmenge von f, Y Zielmenge von f.
Der Funktionsbegriff im Rahmen der Mengenlehre ist hiervon verschieden. Aus mengentheoretischer Sicht ist jede Funktion eine Menge und zwar eine Teilmenge des kartesischen Produktes zweier Mengen im Gegensatz zur obigen Definition einer Funktion als Tripel. Der Begriff Abbildung wird innerhalb der Mengenlehre meistens synonym mit dem Begriff Operation gebraucht.
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