Ordinalzahl
definiert in: Menge/ Ordinalzahlen
Gemäß des Vorschlags von Wolfgang Rautenberg (1936−2011) kann eine Ordinalzahl wie folgt definiert werden:
Eine Menge a heißt transitiv genau dann, wenn für alle x∈∈a x ⊆ a
gilt.
Eine Menge a heißt genau dann Ordinalzahl, wenn a erblich transitiv ist, das heißt, wenn a und jedes Element von a transitiv ist.
Ordinalzahlen werden üblicherweise mit griechischen Buchstaben bezeichnet.
Da alle Elemente von ω transitive Mengen sind (→ Beweis) und jedes Element von ω nur Elemente von ω umfasst (→ Beweis), folgt sofort, dass alle n ∈∈ ω und ω selbst Ordinalzahlen sind. Die vonNeumann’schen Zahlen sind die einzigen endlichen Ordinalzahlen; ω ist die erste transfinite Ordinalzahl.
𝑶, die Klasse aller
Ordinalzahlen, ist eine echte Klasse (→ Beweis).
Jedes Element einer Ordinalzahl ist ebenfalls eine Ordinalzahl (→ Beweis). Jede Ordinalzahl α umfasst alle diejenigen Elemente von α, die kleiner als α
sind (→ Beweis):
α ∈∈ 𝑶 ⇀ α = { ξ ∈∈ s(α) | ξ <
α }.
𝑶 ist wohlgeordnet
(→ Beweis).
Dasselbe gilt auch für jede nichtleere Menge von Ordinalzahlen.
Darüberhinaus existiert für jede beliebige Menge m eine Relation
r, mit der m wohlgeordnet werden kann (→ Beweis)
und es gibt eine eindeutig bestimmte Ordinalzahl μ
mit (m,r) ≅ (μ,∈∈μ)
bzw. mit m ∼ μ
(→ Beweis).
Das bedeutet, dass die Elemente jeder Menge stets mit Hilfe von
Ordinalzahlen nummeriert werden können, wobei jedoch im Allgemeinen r
nicht bekannt ist.
→ ω → Nachfolgerzahl → Limeszahl → Kardinalzahl → Aleph-Operator → Symbole → Index
