vonNeumann’sche Zahlen

definiert in: Menge/ vonNeumann’sche Zahlen

Auf Grundlage des Unendlichkeitsaxioms können die natürlichen Zahlen als Mengen repräsentiert werden; es sind dies

Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } }, { Ø, { Ø }, { Ø, { Ø } } }, ...,

also die Elemente der Menge ω (vonNeumann’sche Zahlen). Definiert man 0 =_def Ø, 1 =_def { Ø }, 2 =_def { Ø, { Ø } },..., n, s(n) =_def n ∪ { n }, ... unter Benutzung der „gewöhnlichen“ natürlichen Zahlen 0, 1, 2, ..., n, n+1, ... so gilt für beliebiges n und die Nachfolgermenge n+1

n+1 = { 0, 1, ..., n }.

Diese mengentheoretische Definition und Beschreibung der natürlichen Zahlen ist sinnvoll, weil man nachweisen kann, dass ω dem Axiomensystem von Peano genügt (→ Beweis), dass die Elemente von ω linear angeordnet werden können (→ Beweis) und dass ℕ und ω strukturgleich sind (→ Beweis).

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