Aleph-Operator
definiert in: Menge/ Mächtigkeiten
Zu jeder Ordinalzahl α gibt es eine Ordinalzahl, die mächtiger ist als α (→ Beweis). Da jede nichtleere Menge m von Ordinalzahlen ein kleinstes Element besitzt (→ Beweis), folgt die Existenz und die Eindeutigkeit der kleinsten Ordinalzahl κ, welche mächtiger ist als eine beliebig vorgegebene Ordinalzahl α:
κ = min { β∈∈𝑶 | α ≺ β }.
Somit ist es sinnvoll, den Aleph-Operator ℵ zu definieren:
ℵ0 =
|
ω |
ℵs(α) =
|
min { β∈∈𝑶 | ℵα ≺ β } |
ℵλ =
|
⋃{ ℵβ | β < λ } |
Unter Beachtung der Tatsache, dass eine Ordinalzahl entweder gleich 0 oder eine Nachfolgerzahl oder eine Limeszahl ist, ist ℵ mit dieser Definition eindeutig bestimmt (→ Beweis).
Jede endliche Menge ist äquivalent zu einer der vonNeumann’schen Zahlen 0, 1, 2, ..., jede unendliche Menge
ist zu einem der Alephs ℵ0, ℵ1, ℵ2,
... äquivalent (→ Beweis). Alle Alephs sind Limeszahlen (→ Beweis). Für α,β ∈∈ 𝑶
sind die folgenden Aussagen äquivalent (→ Beweis):
(i) α < β
(ii) ℵα ≺ ℵβ.
(iii) ℵα < ℵβ.
→ ω → Kardinalzahl → Symbole → Index
