Zahlen

ausführlich behandelt im Kapitel Mathematische Begriffe/Zahlen

Zahlen begegnen uns in vielfältiger Weise: etwa als Anzahlen (eine Woche besteht aus sieben Tagen; die Zahl 30 hat acht Teiler), als Prozentzahlen (der menschliche Körper besteht zu 60 bis 75 Prozent aus Wasser), als Verhältniszahlen (hat ein Autofahrer eine Strecke von 120km in einer Zeit von 2 Stunden zurückgelegt, so betrug seine durchschnittliche Geschwindigkeit 120km/2h = 60km/h), als Richtzahlen (der tägliche Bedarf an Vitamin C liegt - laut der Deutschen Gesellschaft für Ernährung - für Erwachsene zwischen 90 und 110 Milligramm), als Seitenzahlen (1, 2, 3, ...).

Alle eben genannten Zahlen sind natürliche Zahlen (also weder negative Zahlen noch „Kommazahlen“) und dargestellt als Dezimalzahlen, das heißt hingeschrieben mit Hilfe der Zahlzeichen „0“, „1“, ... „9“ unter Verwendung der Zahl 10 als Basis. Die zehn Zahlzeichen dieses Dezimalsystems werden Dezimalziffern genannt.

Ein Beispiel:

40075 = 5·10⁰ + 7·10¹ + 4·10⁴.

Auf diese Weise kann im Prinzip jede natürliche Zahl hingeschrieben werden (→ Beweis), „im Prinzip“ deshalb, weil die Zahlen der unendlichen Zahlenreihe 0, 1, 2, 3, ... irgendwann derart groß werden, dass ein Aufschrieb weder zeitlich noch räumlich möglich wäre. Neben dem - im Alltag üblicherweise benutzten - Dezimalsystem gibt es noch viele weitere Möglichkeiten zur Darstellung von Zahlen.

Es ist bemerkenswert: Wir können Zahlen in verschiedensten Zusammenhängen nutzen, wir können sie auf unterschiedliche Weise darstellen und wir können unter Beachtung von Rechenregeln Eigenschaften von Zahlen auf logische Art schlussfolgern, ohne zu wissen, was Zahlen „eigentlich“ sind. Wenn man bei einer Zahl von ihrer Bedeutung, von ihren Eigenschaften und von ihrer Darstellung absieht, was bleibt dann?

Alle, die sich um den Begriff der Zahl Gedanken gemacht haben, starten zunächst mit der Frage: Was ist eine natürliche Zahl? Oder in alter Sprechweise: Was ist eine „ganze“ Zahl? Nach den grundlegenden Arbeiten von Gottlob Frege zur formalen Logik ist klar: der Begriff der Zahl und die arithmetischen Gesetze sind auf rein logischem Wege nicht begründbar.

Richard Dedekind war der Erste, dem es gelang, die Gesamtheit der natürlichen Zahlen durch die Aufstellung von vier Bedingungen vollständig zu charakterisieren. Die wesentlich auf den Begriffen Menge (im „naiven“ Sinn), Abbildung und Kette beruhende Theorie seines einfach unendlichen Systems N wurde 1887 in der Schrift Was sind und was sollen die Zahlen?  veröffentlicht. Dedekind schrieb im Vorwort zur ersten Auflage als Hauptantwort auf die im Titel dieser Schrift gestellten Frage:

Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen-Wissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen-Reich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlen-Reich beziehen. Verfolgt man genau, was wir bei dem Zählen der Menge oder Anzahl von Dingen tun, so wird man auf die Betrachtung der Fähigkeit des Geistes geführt, Dinge auf Dinge zu beziehen, einem Dinge ein Ding entsprechen zu lassen, oder ein Ding durch ein Ding abzubilden, ohne welche Fähigkeit überhaupt kein Denken möglich ist. Auf dieser einzigen, auch sonst ganz unentbehrlichen Grundlage muß nach meiner Ansicht ... die gesamte Wissenschaft der Zahlen errichtet werden.

Im Kapitel Zahlen wird gezeigt, wie Schritt für Schritt und aufeinander aufbauend die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ, ℝ und ℂ definiert werden können. Hierbei werden die allem zugrunde liegenden natürlichen Zahlen als Dinge verstanden, die den Peano’schen Axiomen genügen und denen ansonsten keinerlei konkrete Bedeutung anhaftet. Sämtliche Rechenregeln für und alle Eigenschaften von natürlichen Zahlen lassen sich aus diesem Axiomensystem ableiten. Mit Zählen fängt es an ...

Im Kapitel Menge kann man darüber hinaus lernen, dass und wie der Begriff der Zahl auf den Mengenbegriff zurückgeführt werden kann: vonNeumann’sche Zahlen.

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