Strahlensätze

bewiesen in: Ebene/ Die Strahlensätze

Gegeben seien zwei Strahlen mit demselben Anfangspunkt Z. Werden diese Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf dem einen Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl (erster Strahlensatz) und es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die entsprechenden Scheitelabschnitte auf einem der zwei Strahlen (zweiter Strahlensatz).

Mit den Bezeichnungen in der Abbildung gelten beispielsweise die folgenden Verhältnisgleichungen:

|A₁A₂|/|A₂Z| = |B₁B₂|/|B₂Z|,  |A₁B₁|/|B₁Z| = |A₂B₂|/|B₂Z|,  |A₃B₃|/|B₃Z| = |A₂B₂|/|B₂Z|.

Der erste Strahlensatz lässt sich umkehren: Gegeben seien zwei Strahlen mit demselben Anfangspunkt Z. Werden diese Strahlen von zwei Geraden so geschnitten, dass sich zwei Abschnitte auf dem einen Strahl verhalten wie die entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl, so sind die Geraden zueinander parallel. (Die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes ist nicht gültig!)

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