goldener Zirkel

beschrieben in: Verhältnis/ Der goldene Schnitt

Der von Adalbert Göringer erfundene goldene Zirkel ist ein Instrument, bei dem die mittlere Zirkelspitze S die Strecke zwischen den äußeren Zirkelspitzen P und Q immer im goldenen Schnitt teilt. Mit Göringers Zirkel kann man zum Beispiel überprüfen, ob ein Teilpunkt T einer gegebenen Strecke AB diese im goldenen Schnitt teilt oder nicht. In der folgenden Abbildung wird ein solcher Zirkel schematisch dargestellt.

Der goldene Zirkel ist so gebaut, dass U die Strecke PZ im goldenen Schnitt teilt und dass ferner |UP| = |US| und |VS| = |VQ| gilt. Wegen |ZP| = |ZQ| folgt |ZV| = |US| und ZUSV ist ein Parallelogramm. Also hat man ∡UZV = ∡VSU  und  ∡SUZ = ∡ZVS. Bezeichnet man den ersten Winkel mit α und den zweiten mit β, dann gilt α+β = 180°; mit anderen Worten: α und β sind Nebenwinkel. Also folgt ∡PUS = ∡SVQ = α und damit die Ähnlichkeit der Dreiecke PSU und SQV. Wird ∡SPU mit γ bezeichnet, dann gilt 2·γ + α = 180° und deswegen liegen die Zirkelspitzen P, S und Q auf einer Geraden. Mit dem ersten Strahlensatz folgt, dass wenn U die Strecke PZ im goldenen Schnitt teilt, dasselbe auch für S im Hinblick auf die Strecke PQ gelten muss.

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