punktweise konvergent
definiert in: Reihe/ Gleichmäßige Konvergenz
Sei D ein Intervall reeller Zahlen und (fk) eine Folge von auf D definierten reellwertigen Funktionen. (fk) heißt punktweise konvergent auf D, wenn für jedes x ∈∈ D die Zahlenfolge (fk(x)) konvergiert.
Falls (fk) eine konvergente Funktionenfolge ist, so existiert zu jedem x ∈∈ D der eindeutig bestimmte Grenzwert von (fk(x)) und deswegen auch g, die Grenzfunktion von (fk), auf D definiert durch
g(x) =deflim k→∞fk(x),
und man schreibt dann
g =lim k→∞fk.
Eine Funktionenfolge (fk) ist also genau dann (punktweise) konvergent auf D mit der Grenzfunktion g, wenn es zu jedem x ∈∈ D und zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl k0 gibt, so dass für alle k ≥ k0
|fk(x) − g(x)| < ε
gilt.
→ absolut konvergent → gleichmäßig konvergent → Funktionenreihe → Index
