Grenzwert (bei Funktionen)
definiert in: Änderungsrate/ Stetigkeit und Differenzierbarkeit
Sei M ⊂ ℝ, x0 ein Häufungswert von M und f eine auf M definierte reellwertige Funktion. Ferner gebe es ein g ∈∈ ℝ, so dass für alle ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 existiert mit
|x − x0| < δ ⇒ |f(x) − g| < ε.
In diesem Fall schreibt man
f(x) → g (x → x0)
oder
lim x→x0f(x) = g
und sagt: „f(x) konvergiert gegen g für x gegen x0“.
Sei M ⊂ ℝ und x0 ein Häufungswert von M, g ∈∈ ℝ und f eine auf M definierte reellwertige Funktion. Dann konvergiert f(x) genau dann gegen g für x gegen x0, wenn für jede Zahlenfolge (xn), die gegen x0 konvergiert, die Folge (f(xn)) gegen g strebt (→ Beweis).
