Absolutbetrag
definiert in: Änderungsrate/ Das Rechnen mit Beträgen
Für zwei reelle Zahlen x und y gilt genau eine der drei Beziehungen x < y, x = y, x > y (→ Beweis). Man nennt dies die Trichotomieeigenschaft der reellen Zahlen. Aufgrund der Trichotomie ist die folgende Definition sinnvoll:
Für alle x ∈∈ ℝ ist der Absolutbetrag von x (kurz: Betrag von x) erklärt durch
Eine reelle Zahl x mit x > 0 heißt positiv. Ist x < 0, heißt x negativ.
Sei ε eine positive reelle Zahl. Dann gilt (→ Beweis) für alle x ∈∈ ℝ
|x| ≤ ε ⇔ −ε ≤ x ≤ ε.
Für alle x, y ∈∈ ℝ gilt (→ Beweis) zudem
|xy| = |x|·|y| und
|x + y| ≤ |x| + |y|.
→ metrischer Raum → konvergent → Cauchyfolge → Index
