metrischer Raum
definiert in: Zahlen/ Die Menge der reellen Zahlen
Sei M irgendeine Menge. Eine Funktion d: MxM → ℝ heißt genau dann Metrik auf M, wenn für alle x, y, z ∈∈ M Folgendes gilt:
d(x,y) = 0
⇔ x = y
d(x,y) = d(y,x)
d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)
Eine Menge mit einer Metrik (M, d) heißt metrischer Raum. d(x,y) nennt man gewöhnlich den Abstand der Punkte x und y. Die Ungleichung d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) heißt Dreiecksungleichung.
ℚ und ℝ werden mit
d(x,y) =def |y −
x|
für alle x, y ∈∈ ℚ
bzw. für alle x, y ∈∈ ℝ
zu metrischen Räumen.
Ein metrischer Raum (M, d) heißt vollständig, wenn es zu jeder Cauchyfolge (xn) in M ein x ∈∈ M gibt, so dass (xn) gegen x konvergiert. Beispielsweise ist ℝ ein vollständiger metrischer Raum.
