Gerade

beschrieben in: Vektor/ Ortsvektoren

In der euklidischen Geometrie wird jede Gerade durch zwei Punkte bestimmt (vgl. Ebene Inzidenzaxiome). Unter der durch zwei verschiedene Punkte P und Q eindeutig festgelegten Gerade g_PQ kann man sich anschaulich ein in zwei Richtungen unbegrenzt weit reichendes geometrisches Objekt vorstellen:

Durch die Einführung von Koordinaten gelingt es, geometrische Objekte wie Punkte, Geraden und Ebenen analytisch zu beschreiben. Dies führt dazu, dass geometrische Probleme auch auf rechnerische Art lösbar werden (analytische Geometrie).

Eine Gerade g ist − im Sinne der analytischen Geometrie − eindeutig definiert durch einen Stützvektor p, respektive einen auf der Geraden liegenden Punkt P, zusammen mit einem vom Nullvektor o verschiedenen Richtungsvektor u.

Durch die Parametergleichung

x = p + t·u

mit einem reellen Parameter t wird jeder reellen Zahl bijektiv ein Punkt X auf dieser Geraden zugeordnet.

Die Aufgaben „Schneiden sich zwei gegebene Geraden, und wenn ja, in welchem Punkt?“ oder „In welchem Punkt durchstößt eine gegebene Gerade eine bestimmte Ebene?“ und so weiter, führen im Wesentlichen zur Aufstellung eines linearen Gleichungssystems und dessen Lösung.

Beispiel: 
Gegeben sei eine Gerade g durch die Gleichung

In welchem Punkt D durchstößt diese Gerade die x₁-x₂-Koordinatenebene?

Diese Aufgabe wird gelöst mit Hilfe des Gleichungssystems

Es folgt t_D = −6 und damit x₁ = −15 und x₂ = 11. Der gesuchte Durchstoßpunkt ist also D(−15|11|0).

→ Addition auf ℙ   → S-Multiplikation   → Index