Äquivalenzrelation
definiert in: Äquivalenzrelation/ Zerlegungen von Mengen
Eine Relation ~ ⊂ M x M auf einer Menge M heißt Äquivalenzrelation auf M, falls ~ transitiv, symmetrisch und reflexiv ist, das heißt, falls für alle x, y, z ∈∈ M das Folgende gilt:
x ~ y und y ~ z ⇒ x ~ z (Transitivität)
x ~ y ⇒ y ~ x (Symmetrie)
x ~ x (Reflexivität)
Eine Menge M, auf der eine Äqivalenzrelation definiert ist, zerfällt sozusagen von selbst in Teilmengen Mi, und zwar so, dass für je zwei Elemente x und y einer Teilmenge Mi stets x ~ y gilt (→ Beweis). Das Umgekehrte ist ebenfalls richtig: Jede Zerlegung einer Menge M induziert in natürlicher Weise eine Äquivalenzrelation auf M (→ Beweis).
Sei m irgendeine positive natürliche Zahl. Dann hat man mit
x ~ y ⇔def (x − y) wird von m geteilt
eine Äquivalenzrelation auf der Menge der ganzen Zahlen definiert.
Sei MPf die Menge aller Pfeile in einem dreidimensionalen euklidischen Raum und p, q ∈ MPf, dann hat man mit
p ~ q ⇔def p und q sind richtungs- und längengleich
eine Äquivalenzrelation auf MPf definiert. Die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Pfeilklassen.
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