Äquivalenzklasse
definiert in: Äquivalenzrelation/ Quotientenmengen
Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf einer nichtleeren Menge M. Dann heißen die zu ~ gehörenden Teilmengen
M(x) = { y ∈∈ M: x ~ y }
Äquivalenzklassen und die Menge
ℳ aller dieser Teilmengen − das ist die zu ~ gehörende Zerlegung
− wird Quotientenmenge von ~
genannt und mit M/~ bezeichnet.
Die zu einer Äquivalenzrelation ~ auf M gehörenden Äquivalenzklassen
M(x) werden oft auch mit dem Symbol [x] gekennzeichnet. x heißt
Repräsentant der Äquivalenzklasse [x].
Sei m irgendeine positive natürliche Zahl. Dann hat man mit
x ~ y ⇔def (x − y) wird von m geteilt
eine Äquivalenzrelation auf ℤ, der Menge der ganzen Zahlen, definiert (→ Beweis).
Die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Restklassen modulo m. Wenn [x] eine solche Restklasse darstellt, dann sind folgende Aussagen gleichwertig:
y
∈∈ [x]
x ~ y
m | (x − y)
x ≡ y mod m
In Worten:
y ist Element der
Äquivalenzklasse [x]
x ist äquivalent zu y
m ist ein Teiler von (x−y)
x ist kongruent zu y modulo m
Beispielsweise sind [0] = { ..., −6, −3, 0, 3, 6, ... }, [1] = { ..., −2, 1, 4, 7, ... } und [2] = { ..., −1, 2, 5, ... } die Restklassen modulo 3 und es gilt 0 ≡ 6 mod 3 oder −4 ≡ 5 mod 3.
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