Wohlordnung von ℕ
bewiesen in: Vollständige Induktion/ Wohlordnung der natürlichen Zahlen
Mit Hilfe der Rechenregeln bezüglich der Addition auf ℕ kann man zeigen, dass sich die natürlichen Zahlen ordnen
lassen. Hierzu ist zunächst eine passende Relation auf ℕ
zu definieren:
Seien m, n ∈∈ ℕ. Dann wird gesetzt:
m ≤ n ⇔def ∃p ∈∈ ℕ: m + p = n
In Worten: m ist genau dann kleiner oder gleich n, wenn eine natürliche Zahl p existiert mit der Eigenschaft, dass m + p = n. Wenn für zwei natürliche Zahlen m und n m ≤ n und m ǂ n gilt, dann schreibt man: m < n.
Für alle natürlichen Zahlen n gilt 0 ≤ n (→ Beweis) und n < succ(n) (→ Beweis).
Hiermit lässt sich zeigen: Mit der Relation ≤ ist die Menge der natürlichen Zahlen wohlgeordnet (→ Beweis).
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