kartesisches Produkt
definiert in: Menge/ Zermelo-Fraenkel’sches Axiomensystem
Mit φL(g,u) =def ∃v (g = (u; v)) und
φR(g,v) =def ∃u (g = (u; v)) werden zwei
funktionale Prädikate definiert.
φL(g,u) trifft zu, wenn es sich bei g um ein geordnetes Paar und bei u um die linke
Komponente von g handelt; φR(g,v)
trifft zu, wenn es sich bei g um ein geordnetes Paar und bei v
um die rechte Komponente von g handelt. Mit φL
und φR lassen sich die Projektionsoperationen λ und
ρ und danach das kartesische Produkt zweier Mengen a und b definieren:
λ(g) =def u,
falls φL(g,u) zutrifft; Ø sonst
ρ(g) =def v,
falls φR(g,v) zutrifft; Ø sonst
Seien a und b zwei beliebige Mengen, sowie p = ℘(℘(a ∪ b)), dann heißt die nach
dem Aussonderungsaxiom existierende Menge
a x b =def
{ g ∈∈ p | λ(g) ∈∈ a ˄ ρ(g) ∈∈ b }
das kartesische Produkt von a und b.
Ist x Element einer beliebigen Menge a, y Element
einer beliebigen Menge b, dann ist immer auch
(x; y) ∈∈ ℘(℘(a ∪ b))
(→ Beweis).
Deswegen lässt sich a x b auf einfache (und gewohnte) Weise darstellen:
a x b = { (x; y) | x ∈∈ a ˄ y ∈∈ b }.
→ Potenzmenge → Index
