Isomorphismus
definiert in: Menge/ Relationen und Funktionen
Seien A = (a,f,r,c) und
B = (b,g,s,d) algebraische Strukturen.
Dann ist ψ genau dann ein Isomorphismus von
A auf B (in Zeichen: „ψ: A ≅ B“),
wenn Folgendes gilt:
ψ: a bij→ b
∀x∈∈a (ψ(f(x)) = g(ψ(x))),
falls f,g einstellig
∀x,y∈∈a (ψ(f(x; y)) = g(ψ(x); ψ(y))),
falls f,g zweistellig
∀x,y∈∈a (x r y ⇌ ψ(x) s ψ(y))
ψ(c) = d
Wenn ein Isomorphismus von A auf B
existiert, dann sagt man „A und B sind isomorph“ (in
Zeichen: „A ≅ B“).
Sind A = (a,f,r,c) und
B = (b,g,s,d)
algebraische Strukturen und ψ: A ≅ B,
so existiert ψ−1 und es gilt
ψ−1: b bij→ a.
Darüberhinaus gilt ψ−1: B ≅ A
(→ Beweis).
Sind zwei Strukturen A und B isomorph, so haben diese also völlig gleiche strukturelle Eigenschaften. Man sagt dann: „A und B sind bis auf Isomorphie gleich“. Gilt ein Satz für Elemente aus a bezüglich f bzw. r, so ist der gleiche Satz für Elemente aus b bezüglich g bzw. s ebenfalls gültig. Das Umgekehrte ist natürlich auch richtig.
→ Homomorphismus → Index
