Grenzwertsätze
bewiesen in: Änderungsrate/ Folgen
Seien (xn) und (yn) zwei konvergente Zahlenfolgen mit xn → x und yn → y (n → ∞). Dann sind auch die Folgen (xn + yn) und (xn·yn) konvergent und es gilt
(i) (xn + yn)
→ x + y (n → ∞)
(ii) (xn·yn) → x·y (n →
∞).
Falls xn ǂ 0 für alle n ∈∈ ℕ und x ǂ 0, so ist auch die Folge (1/xn) konvergent und es gilt
(iii) (1xn) → 1x (n → ∞).
Nimmt man in (ii) für (xn) die konstante Folge (cn) = c, c, c, ..., welche trivialerweise gegen c konvergiert, dann folgt sofort die Konvergenz der Folge (c·yn) und es ist
(iv) (c·yn) → c·y (n → ∞).
Setzt man c = −1, dann folgt aus (iv) zusammen mit (i) noch
(v) (xn − yn) → x − y (n → ∞).
