dh-Materialien
Maple   Übungen

Tragfähigkeit eines Balkens

Die Tragfähigkeit T eines Holzbalkens ist proportional zur Balkenbreite b und zum Quadrat der Balkenhöhe h. Aus einem zylindrischen Baumstamm mit dem Radius r soll ein Balken mit maximaler Tragfähigkeit herausgeschnitten werden.

Welche Werte haben b und h im optimalen Fall?

> restart;

> interface(showassumed = 0);

> h:= sqrt((2*r)^2 - b^2); # Satz des Pythagoras!

h := (4*r^2-b^2)^(1/2)

> T:= k*b*h^2; # mit einem Proportionalitätsfaktor k

T := k*b*(4*r^2-b^2)

> lgn:= solve(diff(T, b) = 0, b);

lgn := 2/3*3^(1/2)*r, -2/3*3^(1/2)*r

> assume(r > 0);
b[max]:= max(lgn[1], lgn[2]); # wegen b > 0

b[max] := 2/3*3^(1/2)*r

> h[max]:= combine(eval(h, b = b[max]));

h[max] := 1/3*r*24^(1/2)