Induktionsschluss

formuliert in: Vollständige Induktion/ Das Prinzip der vollständigen Induktion

Sei mit „E(n)“ irgendeine Aussage bezeichnet, die in Abhängigkeit von n ∈∈ ℕ formuliert werden kann. Wenn „ℰ(n)“ die Abkürzung für „Die Aussage E(n) ist wahr“ bedeutet, dann lautet das Prinzip der vollständigen Induktion wie folgt:

Gilt für m ∈∈ ℕ
    (i)   ℰ(0)  und
    (ii)  ℰ(m) ⇒ ℰ(succ(m)),
so folgt: ℰ(n) für alle n ∈∈ ℕ.

Das Prinzip der vollständigen Induktion ergibt sich unmittelbar aus dem folgenden Peano’schen Axiom:

Sei M eine Teilmenge von ℕ mit den folgenden zwei Eigenschaften:
    (i)  0 ∈∈ M
    (ii) m ∈∈ M ⇒ succ(m) ∈∈ M.
Dann folgt: M = ℕ.

Einige Beispiele für Induktionsbeweise findet man beispielweise im Abschnitt Spezielle Folgen und Reihen.

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