Fibonacci-Folge
definiert in: Verhältnis/ Lucas-Folgen
Die nach dem französischen Mathematiker Edouard Lucas (1842−1891) benannten Zahlenfolgen beginnen jeweils mit zwei vorgegebenen Zahlen. Ab dem dritten Folgenglied gilt die Regel, dass jedes Folgenglied berechnet werden kann durch die Summe seiner beiden Vorgänger. Mit anderen Worten:
Eine Zahlenfolge (xn) heißt genau dann Lucas-Folge, wenn für alle n ∈∈ ℕ mit n > 1 Folgendes gilt:
xn = xn−1 + xn−2
Die Lucas-Folge mit x0 = 1 und x1 = 1 heißt Fibonacci-Folge.
Die ersten Folgenglieder der Fibonaccifolge lauten also 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
Mit Hilfe der Fibonaccifolge lässt sich in natürlicher Weise folgende Spirale konstruieren, die nach einem der größten europäischen Mathematiker des Mittelalters Leonardo Pisano (1170−1250) benannt ist (Leonardo nannte sich selbst „Fibonacci“):
Sei (xn) eine Lucas-Folge mit x0 > 0 und x1 > 0. Dann ist die Folge (qn) der Quotienten aufeinander folgender Lucas-Zahlen mit
qn =def xn+1xn für alle n ∈ ℕ
konvergent und es gilt qn → Φ (n → ∞) (→ Beweis).
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