Ersetzungsaxiom
formuliert in: Menge/ Zermelo-Fraenkel’sches Axiomensystem
Ersetzungsaxiom (ERS)
Sei φ(x,y) ein funktionales Prädikat. Ersetzt man jedes Element x einer Menge durch das durch φ(x,y) eindeutig gegebene y, erhält man wieder eine Menge.
Präziser: Mit φxy =def φ(x,y) gilt
∀φxy(∀x,y,z (φxy ˄ φxz ⇀ y = z) ⇀
∀v ∃w ∀x,y (x ∈∈ v ˄ φxy ⇀ y ∈∈ w))
ERS ist genauso wie AUS ein Axiomenschema für unendlich viele Axiome.
Ist v eine Menge, φxy funktional und F der zu φxy gehörende Operator, dann folgt wegen ERS und AUS, dass
F(v) =def { y | ∃x(x ∈∈ v ˄ φxy) }
eine Menge ist. F(v) ist nach EXT eindeutig bestimmt und heißt Bild von v unter dem Prädikat φxy.
