Äquivalenzsatz
bewiesen in: Menge/ Mächtigkeiten
Gegeben seien zwei Mengen a und b. a und b heißen genau dann gleichmächtig (oder äquivalent), in Zeichen: a ∼ b, wenn eine Funktion f existiert, so dass f: a bij→ b. a heißt höchstens so mächtig wie b (kurz formuliert: „a ≼ b“) genau dann, wenn es eine injektive Funktion von a nach b gibt. Gilt a ≼ b und ¬(a ∼ b), so soll „a ≺ b“ geschrieben werden (gesprochen: „b ist mächtiger als a“).
Für alle Mengen a, b und c gilt (→ Beweis)
(i) a ≼ a
(ii) a ≼ b ˄ b ≼ c ⇀ a ≼ c
(iii) a ≼ b ˅ b ≼ a.
Ist a eine Teilmenge von b und b höchstens so mächtig wie a, dann sind a und b äquivalent (→ Beweis):
a ⊆ b ˄ b ≼ a ⇀ a ∼ b.
Aus diesem (nicht einfach zu beweisenden) Satz folgt für alle Mengen a und b der Äquivalenzsatz (→ Beweis):
a ≼ b ˄ b ≼ a ⇀ a ∼ b.
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