Die Eulergerade
> restart; with(geometry):
Definition des Dreiecks mit den Eckpunkten A, B und C:
Benennung der Seiten des Dreiecks:
> line(a, [B, C]): line(b, [C, A]): line(c, [A, B]):
Bestimmen der Höhen ha, hb und hc:
PerpendicularLine(hc, C, c):
Bestimmen der Mittelsenkrechten ma, mb und mc:
PerpenBisector(mc, A, B):
Bestimmen der Seitenhalbierenden sa, sb und sc:
line(sc, [C, midpoint(Mc, A, B)]):
Die Eulergerade durch die Punkte H, U und S:
> EulerLine(El, Dreieck):
ma, mb, mc,
sa, sb, sc,
El (thickness = 2)],
axes = NONE,
color = [black,
maroon, maroon, maroon,
green, green, green,
blue, blue, blue, red]);
Der Höhenschnittpunkt H, der Umkreismittelpunkt U und der Schwerpunkt S liegen immer auf einer Geraden.
Beweis:
Gegeben sei ein beliebiges Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C.
Hierbei wird Folgendes als bekannt vorausgesetzt:
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei A(0| 0), B(a| 0) und
C(b| c) mit
irgendwelchen von 0 verschiedenen Zahlen a, b und c.
> restart; with(geometry):
point(A, 0, 0): point(B, a, 0):point (C, b, c):
Berechnen des Mittelpunktes der Strecke zwischen B und C:
> midpoint(M, B, C):
coordinates(M);
![[a/2+b/2, c/2]](images-eulerger/eulerger3.gif){kind=small}
S teilt die Strecke zwischen A und M im Verhältnis 2 : 1, also gilt:
point(S, 2/3*x[M], 2/3*y[M]):
coordinates(S);
![[a/3+b/3, c/3]](images-eulerger/eulerger4.gif){kind=small}
U hat die x-Koordinate a/2 und muss zu jedem der Dreieckspunkte den gleichen Abstand haben:
d[A]:= distance(A, U);
d[C]:= distance(C, U);
y[U]:= solve(d[A] = d[C], y[U]);
Der Umkreismittelpunkt U:
> coordinates(U);
U und S definieren eine Gerade g.
Berechnung der Steigung m dieser Geraden:
m:= simplify(Delta[y]/Delta[x]);
Die Gleichung der Geraden g:
k:= solve(gl, k);
g;
Der Höhenschnittpunkt H:
coordinates(H);
![[b, (a-b)*b/c]](images-eulerger/eulerger9.gif){kind=small}
Liegt H auf der Geraden g?
Dies war zu zeigen.
