Normalengleichung
definiert in: Vektor/ Skalarprodukt von Vektoren
Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man eine Ebene E parameterfrei durch eine Normalengleichung beschreiben: Hat man einen auf der Ebene E senkrecht stehenden Vektor n, so gilt für alle Punkte X auf E:
(x − p)•n = 0.
n heißt Normalenvektor der Ebene E. Benutzt man speziellerweise einen normierten Normalenvektor n0, dann gilt definitionsgemäß |n0| = 1 und
(x − p)•n0 = 0
heißt Hesse’sche Normalenform.
Aus einer Normalengleichung (x − p)•n = 0 folgt
n1·x1 + n2·x2 + n3·x3 = d
mit d = p1n1 + p2n2 + p3n3 (→ Beweis).
Umgekehrt gilt: Die Koordinatengleichung a·x1 + b·x2 + c·x3 = d mit a, b, c, d ∈∈ ℝ beschreibt immer eine Ebene und der Vektor mit den Koordinaten a, b und c ist ein Normalenvektor der Ebene (→ Beweis).
Ist (x − p)•n0 = 0 die zu einer Ebene E gehörende Hesse'sche Normalenform und R(r1|r2|r3) irgendein Punkt, dann gilt für die Länge des Lotes von R auf E d = |(r − p)•n0| (→ Beweis). d heißt Abstand des Punktes R von der Ebene E.
