endliche Menge
definiert in: Menge/ Endliche Mengen
Üblicherweise nennt man eine Menge genau dann endlich, wenn man die Elemente dieser Menge mit Hilfe der natürlichen Zahlen abzählen kann. Es ist jedoch durchaus möglich, den Begriff „endliche Menge“ ohne Verwendung der natürlichen Zahlen zu definieren:
Sei a eine Menge, ℘(a)
die Potenzmenge
von a und u ⊆ ℘(a)
eine Teilmenge von ℘(a).
u ist ein induktives System in ℘(a)
(kurz formuliert: „u:IND(a)“) genau dann, wenn
Ø ∈∈ u ˄ ∀t∈∈u ∀x∈∈a\t
(t ∪ { x } ∈∈ u).
Es folgt unmittelbar, dass ℘(a):IND(a)
für alle a gilt. Das heißt, es existiert immer mindestens ein induktives System in
℘(a), nämlich ℘(a) selbst.
Eine Menge a ist genau dann endlich, wenn ein n ∈∈ ω existiert, so dass n und a gleichmächtig sind (→ Beweis).
