Maple-Worksheet: Schwingungen

Schwingungen

> restart;

fnt:= 'font = [COURIER, 12]':

Ein Federpendel (m = Pendelmasse, K = Federkonstante) lässt man in einem mehr oder weniger zähen Medium schwingen. Mit x sei die Auslenkung des Pendels relativ zur Ruhelage bezeichnet. Unter der Annahme, dass sich die Pendelreibung proportional zur Pendelgeschwindigkeit verhält, gilt:

> s:= t -> x(t):

v:= t -> diff(x(t),t):
a:= t -> diff x(t),t,t):

DGl:= m*a(t) + R*v(t) + K*x(t) = 0:
DGl;

Fall 1: ungedämpfte Schwingung (R = 0)

> gl:= dsolve({DGl, D(x)(0) = 0, x(0) = x[0]}, x(t)):

gl;

Fall 2: gedämpfte Schwingung

> gl:= dsolve({DGl, D(x)(0) = v[0], x(0) = 0}, x(t)):

gl:= simplify(gl):
gl;

Fall 2a: aperiodischer Kriechfall
Dieser Fall ist gegeben, wenn R² > mK (große Dämpfung).

Zahlenbeispiel mit Schaubild:

> m:= 1: K:= 4: R:= 9: v[0]:= 1:

evalf(gl, 3);
plot(rhs(gl), t = 0..8, fnt);

Fall 2b: gedämpfte Schwingung mit kleiner Dämpfung
Dieser Fall ist gegeben, wenn R² < 4 mK.

> m:= 'm': K:= 'K': R:= 'R': v[0]:= 'v[0]':

omega:= 'omega':
assume(R^2 - 4*m*K < 0):
x(t):= evalc(Re(rhs(gl)));

> x(t):= subs(-R*t/(2*m) = -k*t, x(t));

Mit k = R/2m , ω = sqrt(K/m - k²) und x₀ = v₀/ω ergibt sich:

> x(t):= x0*exp(-k*t)*sin(omega*t);

Zahlenbeispiel mit Schaubild:

> x0:= 1: k:= 0.25: omega:= 2:

plot(x(t), t = 0..16, fnt);

Fall 2c: aperiodischer Grenzfall
Dieser Fall ist gegeben, wenn R² = 4 mK.

Eine mathematische Beschreibung dieses physikalisch möglichen (und wichtigen) Falls lässt sich mit den bisherigen Lösungsformeln offensichtlich nicht beschreiben.

> restart;

fnt:= 'font = [COURIER, 12]':
s:= t -> x(t):
v:= t -> diff(x(t),t):
a:= t -> diff(x(t),t,t):

R:= 2*sqrt(m*K):
DGl:= m*a(t) + R*v(t) + K*x(t) = 0;
dsolve(DGl, x(t));