Schwingungen
Ein Federpendel (m = Pendelmasse, K = Federkonstante) lässt man in einem mehr oder weniger zähen Medium schwingen. Mit x sei die Auslenkung des Pendels relativ zur Ruhelage bezeichnet. Unter der Annahme, dass sich die Pendelreibung proportional zur Pendelgeschwindigkeit verhält, gilt:
a:= t -> diff x(t),t,t):
DGl:= m*a(t) + R*v(t) + K*x(t) = 0:
DGl;
Fall 1: ungedämpfte Schwingung (R = 0)
Fall 2: gedämpfte Schwingung
gl;
Fall 2a: aperiodischer Kriechfall
Dieser Fall ist gegeben, wenn R2 > mK (große Dämpfung).
Zahlenbeispiel mit Schaubild:
plot(rhs(gl), t = 0..8, fnt);
Fall 2b: gedämpfte Schwingung mit kleiner Dämpfung
Dieser Fall ist gegeben, wenn R2 < 4 mK.
assume(R^2 - 4*m*K < 0):
x(t):= evalc(Re(rhs(gl)));
> x(t):= subs(-R*t/(2*m) = -k*t, x(t));
Mit k = R/2m , ω = sqrt(K/m - k2) und x0 = v0/ω ergibt sich:
> x(t):= x0*exp(-k*t)*sin(omega*t);
Zahlenbeispiel mit Schaubild:
Fall 2c: aperiodischer Grenzfall
Dieser Fall ist gegeben, wenn R2 = 4 mK.
Eine mathematische Beschreibung dieses physikalisch möglichen (und wichtigen) Falls lässt sich mit den bisherigen Lösungsformeln offensichtlich nicht beschreiben.
s:= t -> x(t):
v:= t -> diff(x(t),t):
a:= t -> diff(x(t),t,t):
R:= 2*sqrt(m*K):
DGl:= m*a(t) + R*v(t) + K*x(t) = 0;
dsolve(DGl, x(t));
Diese DGL wird mit einem speziellen Ansatz gelöst:
x(t) = x0 t e-kt
gl:= m*diff(x(t),tt) + 2*sqrt(m*K)*diff(x(t),t) + K*x(t) = 0:
solve(gl, {k});
Zahlenbeispiel mit Schaubild: