Vektor

Skalare Größen

Um zu entscheiden, ob man das in festem Karton zusammengeschnürte Geschenk noch als Päckchen versenden kann, braucht man unter anderem die Angabe des Gewichts: Ein Päckchen darf höchstens 2 Kilogramm wiegen. Wird diese umgangssprachlich formulierte Aussage physikalisch korrekt formuliert, dann wird daraus: Die Masse eines Päckchens beträgt höchstens 2 Kilogramm.

Interessiert man sich für den Aggregatzustand von Wasser, so ist die Temperatur des Wassers entscheidend. Bei normalem Druck schmilzt Wasser bei 0 Grad Celsius; bei 100 Grad Celsius siedet es.

Wenn ein Monitor mit einer Leistung von 130 Watt durchschnittlich jeden Tag 3 Stunden lang eingeschaltet ist, dann „verbraucht“ allein dieses Gerät pro Jahr die elektrische Energie von etwa 142 Kilowattstunden. Diese Energie kostet Geld, und zwar etwa 40 Euro, wenn man einen Arbeitspreis von 28 Cent pro Kilowattstunde zugrunde legt.

Alle diese Größen (Masse, Temperatur, Leistung, Energie, Geld, Zeit und etliche andere) haben eine gemeinsame Eigenschaft: Wenn man eine solche Größe misst, dann wird das Messergebnis immer durch eine Zahl ausgedrückt (natürlich in Verbindung mit der Einheit, in der die betreffende Größe gemessen wird). Diese Größen heißen skalare Größen.

Wird mit einer solchen skalaren Größe der Zustand irgendeines Körpers beschrieben, dann ändert sich der Wert dieser Größe nicht, wenn man den Körper dreht.

Gerichtete Größen  

Es gibt Größen, bei denen es im Allgemeinen nicht ausreichend ist, als Messergebnis nur eine Zahl anzugeben. Ist man zum Beispiel mit dem Auto unterwegs, dann ist es im Hinblick auf das Fahrziel nicht nur wichtig zu wissen, wie schnell, sondern auch in welche Richtung man fährt. Solche Größen, die charakterisiert sind durch Betrag und Richtung, heißen gerichtete Größen. Beispiele hierfür sind: Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Impuls, Strom. Die Gewichtskraft eines 2 Kilogramm schweren Päckchens zum Beispiel beträgt etwa 20 Newton und ist senkrecht zur Erdoberfläche gerichtet.

Gerichtete Größen stellt man am besten mit Hilfe von Pfeilen dar. Die Pfeillänge gibt - in einem bestimmten, frei gewählten Maßstab - den Betrag der jeweiligen Größe an.

Beispiel 1:

Die in der Abbildung eingezeichneten Orte A und B sollen 50 Meter voneinander entfernt sein. Das Auto ist am Ort A momentan 10 Meter pro Sekunde schnell und wird deswegen B innerhalb von 5 Sekunden erreichen, sofern die Geschwindigkeit des Autos konstant beibehalten wird.

Beispiel 2:
Die Wurfbewegung eines Körpers lässt sich auffassen als Überlagerung zweier unabhängig voneinander ablaufender Einzelbewegungen: eine gleichförmige Bewegung (mit konstanter Geschwindigkeit) in Abwurfrichtung und zweitens eine gleichmäßig beschleunigte Fallbewegung nach „unten“. Zur ersten Bewegung gehört eine Geschwindigkeit v₀, bei der sich weder die Richtung noch der Betrag ändert. Zur zweiten Bewegung gehört die Fallgeschwindigkeit v_y, deren Betrag linear mit der Zeit t wächst. Die Addition beider Geschwindigkeiten liefert zu jedem Zeitpunkt die resultierende Geschwindigkeit v des Körpers, die stets tangential zur Bahnkurve des Körpers gerichtet ist.

Der hier beschriebene Sachverhalt, der durch Experimente bestätigt werden kann, wird durch die folgende Konstruktion veranschaulicht. Dargestellt ist der geworfene Körper samt Geschwindigkeitspfeilen zu vier verschiedenen Zeitpunkten. Zur Zeit t = 0 gilt v = v₀. Befindet sich der Körper zur Zeit t = 0, also beim Abwurf, im Ursprung eines Koordinatensystems mit waagerechter x-Achse und vertikaler y-Achse, dann hat man die Position des Körpers zur Zeit t mit

x = v₀·t·cos(α)  und  y = v₀·t·sin(α) − k·t².

k ist eine Konstante und v₀ ist der Betrag der Geschwindigkeit v₀.

Die Benutzung von Pfeilen ist nicht nur bei der Analyse zusammengesetzter Bewegungen von Körpern hilfreich, sondern in der gesamten Physik grundlegend wichtig.

Pfeile und Pfeilklassen  

Unter der Voraussetzung, dass wir im so genannten Anschauungsraum arbeiten, also in einem dreidimensionalen euklidischen Raum, der aus Punkten besteht, die wir in jedem Fall paarweise miteinander durch eine (jeweils eindeutig bestimmte) Strecke verbinden sowie deren Abstände wir mit den Längen dieser Strecken messen können und der die Eigenschaft hat, dass zwei zueinander parallele Geraden stets den gleichen Abstand behalten, egal wie weit wir entlang dieser Geraden laufen mögen, kann man folgende anschauliche Definitionen formulieren:

Sei mit M_Pf die Menge aller Pfeile bezeichnet und seien p, q ∈∈ M_Pf, dann hat man mit

p ~ q  ⇔_def  p und q sind richtungs- und längengleich

eine Äquivalenzrelation auf M_Pf definiert. Die Pfeilklassen sind die Äquivalenzklassen bezüglich „~“.

Für a = PA→ und b = PB→ gilt also a + b = PA→ + AB→ = PB→.

Mit zwei beliebigen Punkten P und A und a = PA→ folgt  a + a* = PP→, mit anderen Worten: |a + a*| = 0.

Für jede Pfeilklasse a gilt somit a + a* = o. Ferner gilt a + o = a für alle a.

Sei nun a irgendeine Pfeilklasse und r eine beliebige positive reelle Zahl. Dann soll ra diejenige Pfeilklasse sein, die durch einen Pfeil repräsentiert wird, der r-mal so lang ist wie ein Repräsentant von a und in die gleiche Richtung zeigt. ra kann interpretiert werden als Produkt der Zahl r und der Pfeilklasse a. Diese so genannte skalare Multiplikation (oder S-Multiplikation) einer Pfeilklasse a mit einer Zahl r funktioniert mit folgenden Definitionen sogar für alle reellen Zahlen:

ra  =_def  ra
(−r)a  =_def  ra*
1a =_def  a
0a =_def  o

Verabredet man die folgende abkürzende Schreibweise

a − b =_def  a + (−1)b

dann gilt für alle Pfeilklassen a und b:  a − b = a + (−1)b = a + 1b* = a + b*
und es gilt insbesondere a − a = o.

Für alle Pfeilklassen a, b und c gelten bezüglich der Addition das Kommutativgesetz

a + b = b + a,

und das Assoziativgesetz

a + (b + c) = (a + b) + c.

Für alle Pfeilklassen a und b und alle reellen Zahlen s und t gelten die folgenden Gesetze:

s(ta) = (s·t)a
(s + t)a = sa + ta
t(a + b) = ta + tb

Die Menge aller Pfeilklassen im Anschauungsraum soll mit ℙ bezeichnet werden. Dann lässt sich die Struktur von ℙ im Hinblick auf die Pfeilklassenaddition zusammenfassend wie folgt beschreiben:

ℙ ist bezüglich der auf ℙ definierten Addition „+“ aufgrund der Eigenschaften (i)₊, (ii)₊ und (iii)₊ eine Gruppe. Wegen der Gültigkeit des Kommutativgesetzes (Regel (iv)₊) ist ℙ sogar eine Abel’sche Gruppe. Das zu jedem a ∈∈ ℙ existierende a* mit a* + a = o ist eindeutig bestimmt und heißt das „zu a inverse Element“. Das Inverse zu a wird üblicherweise mit (−a) bezeichnet. 

Im Hinblick auf die Addition gelten in ℙ dieselben Rechengesetze wie in ℤ, ℚ oder ℝ. Das bedeutet insbesondere, dass alle weiteren Gesetze, die die Addition betreffen und im Bereich der Zahlen bereits bewiesen worden sind, automatisch auch in ℙ Gültigkeit haben. Umgekehrt gilt natürlich das Gleiche.
Hierzu gehören beispielsweise die Rechenregeln  −(−a) = a  oder −(a + b) = −a − b oder so etwas wie a + b = a + c ⇒ b = c und so weiter.

Besondere Eigenschaften eines Dreiecks  

In einem beliebigen Dreieck ABC schneiden sich die drei Seitenhalbierenden in einem Punkt (S), die drei Höhen schneiden sich ebenfalls in einem Punkt (H), das Gleiche gilt für die Mittelsenkrechten mit dem Schnittpunkt M und die Winkelhalbierenden mit dem Schnittpunkt W. Die Punkte M, S und H liegen immer auf einer Geraden, die Eulergerade genannt wird.

Alle oben genannten Aussagen (und viele andere) lassen sich elementargeometrisch (X37, X46, X60, X61, X62) oder aber mit Hilfe von Pfeilklassen beweisen. Als Beispiel soll der folgende Satz dienen:

Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S.
S teilt jede der Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2.

K-Vektorräume  

Die strukturellen Eigenschaften der Menge aller Pfeilklassen im Anschauungsraum geben Anlass zu folgender Verallgemeinerung:

Die Bezeichnungen „Vektor“ und „Skalar“ stammen vom irischen Mathematiker Sir William Rowan Hamilton (1805−1865). Bemerkenswert ist das Axiom (U) (unitäres Gesetz). Stellt man sich unter a eine Pfeilklasse vor, scheint dieses Gesetz selbstverständlich zu sein. Tatsächlich folgt aber (U) nicht aus den anderen Axiomen und muss deshalb als gültig vorausgesetzt werden. Die Aussage des unitären Gesetzes sieht der Rechenregel 1·n = n für n ∈∈ ℕ sehr ähnlich. Auch diese Regel ist − aus mathematischer Sicht − nicht selbstverständlich, kann aber bewiesen werden (→ Beweis).

Alle axiomatisch festgelegten Eigenschaften eines K-Vektorraumes im Einzelnen:

Das Nullelement 0 ∈ K, das Einselement 1 ∈∈ K sowie das Nullelement o ∈∈ V sind eindeutig bestimmt.

Es folgen vier Beispiele von K-Vektorräumen.

Beispiel 1: 
Jeder Körper K ist infolge der Körperaxiome ein Vektorraum über sich selbst.
Beispielsweise ist ℝ ein ℝ-Vektorraum.
In diesen speziellen Fällen bedeuten die Operatoren „+“ und „+“ bzw. „·“ und „·“ dasselbe.  

Beispiel 2: 
ℙ, die Menge aller Pfeilklassen im Anschauungsraum ist ein ℝ-Vektorraum. Man beachte, dass in diesem Raum vor allem die Begriffe Punkt, Richtung und Länge nicht weiter hinterfragt und explizit definiert, sondern eben anschaulich als gegeben vorausgesetzt werden!

Beispiel 3: 
ℝⁿ, induktiv definiert durch

ℝ¹  =_def  ℝ
ℝ^m+1  =_def  ℝ^m x ℝ  für alle m = 1, 2, 3...

ist ein ℝ-Vektorraum mit folgenden Definitionen:

(x₁, ..., x_n) + (y₁, ..., y_n) =_def (x₁+y₁, ..., x_n+y_n)
t·(x₁, ..., x_n)  =_def  (t·x₁, ..., t·x_n)

für alle (x₁, ..., x_n), (y₁, ..., y_n) ∈ ℝⁿ und alle t ∈ ℝ.

Beispiel 4: 
ℱ, die Menge aller reellen Funktionen (also aller Abbildungen von ℝ in sich), bildet ein ℝ-Vektorraum mit folgenden Definitionen:

(f + g)(x)  =_def  f(x) + g(x)  für alle x ∈∈ ℝ
(t·f)(x)  =_def  t·f(x) für alle x ∈∈ ℝ und t ∈∈ ℝ.

Die Funktion o, definiert durch o(x) = 0 für alle x ∈∈ ℝ ist das Nullelement von ℱ.

Die folgenden zwei Aussagen gelten für alle K-Vektorräume V:
(i)  t·a = o gilt genau dann, wenn t = 0 oder a = o ist.
(ii) (−t)·a = −(t·a) für alle a ∈∈ V und t ∈∈ K.

Ortsvektoren  

Diejenigen Pfeile, die den Ursprung eines 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystems als Anfangspunkt haben, werden Ortsvektoren genannt. Jedem Punkt P(p₁|p₂|p₃) mit p₁, p₂, p₃ ∈∈ ℝ kann bei gegebenem Koordinatensystem in bijektiver Weise ein solcher Ortsvektor p zugeordnet werden.

Diejenigen Ortsvektoren, die in die Richtung der Koordinatenachsen zeigen und die Länge 1 haben, sollen Basisvektoren heißen und mit e₁, e₂ und e₃ bezeichnet werden. Dann gilt p = p₁·e₁ + p₂·e₂ + p₃·e₃.

p₁, p₂ und p₃ sind die Koordinaten des Punktes P, bzw. die Komponenten des Ortsvektors p.
Zwei Ortsvektoren p und q sind genau dann gleich, wenn für ihre Komponenten unter Verwendung derselben Basis {e₁, e₂, e₃} gilt:

p₁ = q₁  und  p₂ = q₂  und  p₃ = q₃.

Den Betrag eines Ortsvektors erhält man, indem der Satz des Pythagoras zweimal angewendet wird:

|p| = √p₁²+p₂²+p₃²

Ein räumliches Koordinatensystem hat üblicherweise die Eigenschaft, rechtshändig zu sein, das heißt: die Richtungen der „positiven“ Achsen werden festgelegt durch Daumen (x₁), Zeigefinger (x₂) und Mittelfinger (x₃) der rechten Hand. Man nennt dies ein Rechtssystem.

Durch die Einführung von Koordinaten gelingt es, geometrische Objekte analytisch zu beschreiben. Dies führt dazu, dass geometrische Probleme auch auf rechnerische Art lösbar werden (analytische Geometrie). Grundlegende Objekte in der analytischen Geometrie sind insbesondere Punkte, Geraden und Ebenen:

t, r und s sind hierbei reelle Parameter; p nennt man sowohl bei Geraden als auch bei Ebenen Stützvektor. Die von o verschiedenen Spannvektoren u und v einer Ebene E müssen immer linear unabhängig sein, das heißt, es gibt keine reelle Zahl k mit u = k·v. Der in der Parametergleichung x = p + t·u verwendete Vektor u, der von o verschieden sein muss, heißt Richtungsvektor.

Addition und S-Multiplikation funktionieren - wie oben bereits definiert - komponentenweise:

Die Aufgaben „Schneiden sich zwei gegebene Geraden, und wenn ja, in welchem Punkt?“ oder „Schneiden sich zwei gegebene Ebenen, und wenn ja, wie lautet die Gleichung der Schnittgeraden?“ oder „In welchem Punkt durchstößt eine gegebene Gerade eine bestimmte Ebene?“ und so weiter, führen im Wesentlichen zur Aufstellung eines linearen Gleichungssystems und dessen Lösung.

Beispiel: 
Gegeben sei eine Gerade g durch ihre Parametergleichung

In welchem Punkt D durchstößt diese Gerade die x₁-x₂-Koordinatenebene?

Diese Aufgabe wird gelöst mit Hilfe des Gleichungssystems

Es folgt t_D = −6 und damit x₁ = −15 und x₂ = 11.
Der gesuchte Durchstoßpunkt ist also D(−15|11|0).

Skalarprodukt von Vektoren  

Die Definition des Skalarprodukts liefert eine Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren. Das Ergebnis des Skalarprodukts zweier Vektoren ist kein Vektor, sondern eine Zahl:

Für 0°≤ α < 90° und  270° < α ≤ 360° ist a•b positiv; für 90° < α < 270° ist a•b negativ; a•b = 0, wenn α = 90° oder α = 270°.

Hiermit lässt sich der geometrische Sachverhalt, dass zwei geometrische Objekte senkrecht zueinander stehen, auch analytisch ausdrücken:

a ⊥ b  ⇔  a•b = 0  mit  a, b ǂ o

Außerdem folgt direkt aus der Definition des Skalarprodukts  a•a = |a|² für alle a ∈∈ ℙ, kurz geschrieben:

a² = a²  für alle  a ∈∈ ℙ.

Physikalisch ist das Skalarprodukt überall dort bedeutsam, wo es um die Berechnung von Energiemengen geht und hierbei gerichtete Größen eine Rolle spielen. Zwei Beispiele: Für die Verschiebung eines Körpers um einen gewissen Streckenabschnitt Δs durch eine konstante Kraft F muss insgesamt die Energie ΔW = F•Δs aufgebracht werden. ändert irgendein sich mit der Geschwindigkeit v gleichförmig bewegtes System seinen Impuls um ΔP, dann nimmt es hierbei den Energiebetrag ΔW = v•ΔP auf.

Elementargeometrisch folgen für alle a, b, c ∈∈ ℙ und alle t ∈∈ ℝ die folgenden Rechenregeln:
(S1) a•b = b•a (Kommutativgesetz)
(S2) a•(b + c) = a•b + a•c (Distributivgesetz)
(S3) a•(t·b) = (t·a)•b = t·(a•b) (gemischt assoziatives Gesetz)

Diese Regeln folgen mit den in ℝ gültigen Rechenregeln auch aus der Aussage des folgenden Satzes:

Sind a und b durch ihre Koordinaten a₁, a₂ und a₃ bzw. b₁, b₂ und b₃ in einem 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem gegeben, dann gilt

a • b = a₁·b₁ + a₂·b₂ + a₃·b₃

Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man eine Ebene E parameterfrei durch eine Normalengleichung beschreiben: Hat man einen auf der Ebene E senkrecht stehenden Vektor n, so gilt für alle Punkte X auf E:

(x − p)•n = 0.

n heißt Normalenvektor der Ebene E. Benutzt man speziellerweise einen normierten Normalenvektor n₀, dann gilt definitionsgemäß |n₀| = 1 und

 (x − p)•n₀ = 0

heißt Hesse’sche Normalenform.

Wendet man den eben bewiesenen Satz auf eine Normalengleichung von E an, so ergibt sich

n₁·x₁ + n₂·x₂ + n₃·x₃ = d

mit d = p₁n₁ + p₂n₂ + p₃n₃. Umgekehrt gilt:

Die Koordinatengleichung a·x₁ + b·x₂ + c·x₃ = d  mit a, b, c, d ∈∈ ℝ beschreibt immer eine Ebene und der Vektor mit den Koordinaten a, b und c ist ein Normalenvektor der Ebene.

Ist (x − p)•n₀ = 0 die zu einer Ebene E gehörende Hesse'sche Normalenform und R(r₁|r₂|r₃) irgendein Punkt, dann gilt für die Länge des Lotes von R auf E

d = |(r − p)•n₀|.

d heißt Abstand des Punktes R von der Ebene E.

Euklidische Vektorräume  

Der Begriff des Skalarprodukts lässt sich verallgemeinern.

Beispiel 1: 
„*“: ℂ → ℂ sei diejenige Abbildung, die jeder komplexen Zahl x+iy die konjugiert komplexe Zahl x−iy zuordnet.
Dann ist die Abbildung f: ℂⁿxℂⁿ → ℂ mit

f(v, w) =_def (v₁·w₁* + ... + v_n·w_n*)

eine Semibilinearform. Hierbei ist v = (v₁, v₂, ... v_n) ∈∈ ℂⁿ und w = (w₁, w₂, ... w_n) ∈∈ ℂⁿ.

Beispiel 2 (Standard-Skalarprodukt): 
„⟨,⟩“: ℝⁿxℝⁿ → ℝ mit

⟨v, w⟩ =_def (v₁·w₁ + ... + v_n·w_n)

ist eine Bilinearform. Hierbei ist v = (v₁, v₂, ... v_n) ∈∈ ℝⁿ und w = (w₁, w₂, ... w_n) ∈∈ ℝⁿ.

Mit Hilfe des Skalarproduktes ist es möglich, Längen zu messen. Hierzu wird der Betrag eines Vektors v als Element eines euklidischen Vektorraums wie folgt definiert:

|v| = √⟨v, v⟩  für alle v ∈∈ V

In einem euklidischen Vektorraum (V,⟨,⟩) gilt die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung

|⟨v, w⟩| ≤ |v|·|w|  für alle  v, w ∈∈ V.

Aus der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung folgt zum Beispiel unmittelbar für alle v_i, w_i ∈∈ ℝ und n ∈∈ ℕ*:

(v₁·w₁ + ... + v_n·w_n)² ≤ (v₁² + ... + v_n²)·(w₁² + ... + w_n²).

In einem euklidischen Vektorraum (V,⟨,⟩) gilt die Dreiecksungleichung

|v + w| ≤ |v|+|w|  für alle v, w ∈∈ V.

|v| = √⟨v, v⟩  für alle v ∈∈ V

hat diese drei Eigenschaften und heißt euklidische Norm von V.

Kreuzprodukt von Vektoren  

Bewegt sich eine elektrische Ladung q mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld,  dann wirkt auf sie die Lorentzkraft F. Diese Kraft F steht sowohl senkrecht auf v, als auch auf dem Vektor B, mit dem die Stärke des Magnetfeldes gemessen wird. Für den Betrag der Lorentzkraft gilt F = |F| = |q|·v·B.

Die Richtung von F wird mit der Dreifingerregel ermittelt: Der Daumen gibt die Bewegungsrichtung der Ladung an, der Zeigefinger weist in die Richtung der Magnetfeldlinien, der Mittelfinger zeigt die Richtung der Lorentzkraft an. Bei negativen Ladungen nimmt man die linke Hand (wie zum Beispiel in der Abbildung), für positive Ladungen ist die rechte Hand zuständig. Die Wirkung der Lorentzkraft erkennt man beim Überfahren der Abbildung mit dem Mauszeiger.

Bewegt sich q schräg zu den B-Feldlinien, dann ist für die Berechnung von F nur diejenige Komponente von v bedeutsam, welche senkrecht zu B steht, das bedeutet: F = |q|·v·B·|sin(α)|, wobei α den Winkel bezeichnet, der von v und B eingeschlossen wird. Kurz geschrieben: F = |q·vxB|. Die hier verwendete Verknüpfung „x“ wird wie folgt erklärt:

Nach dieser Definition ist axb ein Normalenvektor der durch a und b festgelegten Ebene und der Betrag von axb entspricht dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms. So wie Orthogonalität mit Hilfe des Skalarproduktes analytisch beschreibbar ist, lässt sich mit Hilfe des Kreuzproduktes Parallelität analytisch beschreiben, denn es gilt nach Definition wegen (iii)

a || b  ⇔  axb = o  mit  a, b ǂ o

Ferner gelten für alle a, b, c ∈∈ ℙ und alle t ∈∈ ℝ die folgenden Rechenregeln:
(K1) axb = − bxa
(K2) ax(b + c) = axb + axc (Distributivgesetz)
(K3) ax(t·b) = t·(axb) (gemischt assoziatives Gesetz)

Sind a und b durch ihre Koordinaten a₁, a₂ und a₃ bzw. b₁, b₂ und b₃ in einem 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem gegeben, dann gilt

a x b = (a₂b₃−a₃b₂)·e₁ + (a₃b₁−a₁b₃)·e₂ + (a₁b₂−a₂b₁)·e₃

(Hierbei sind e₁, e₂, e₃ die Basisvektoren des Koordinatensystems.)

Skalare Felder und Vektorfelder  

In diesem Abschnitt werden Vektoren mit fetten Buchstaben ohne Unterstrich bezeichnet.

Gehört zu jedem Ort x= (x₁,x₂,x₃) eines zusammenhängenden und offenen Raumgebietes G ⊆ ℝ³ ein Wert einer skalaren Funktion f(x) oder ein Wert einer vektoriellen Funktion v(x) = (v₁(x),v₂(x),v₃(x)), so wird hiermit ein skalares Feld bzw. ein Vektorfeld definiert. Die Punktkoordinaten x₁, x₂ und x₃ beziehen sich hierbei auf ein bestimmtes dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem.

Die Temperaturverteilung in der Erdatmosphäre oder die Dichteverteilung in einem Festkörper sind zum Beispiel skalare Felder; Beispiele für Vektorfelder sind E- und B-Felder (elektrische und magnetische Felder), das Gravitationsfeld der Erde oder das Geschwindigkeitsfeld in einer strömenden Flüssigkeit. Ein skalares oder ein vektorielles Feld, das sich mit der Zeit nicht ändert, heißt stationär.

Skalare Felder lassen sich mit Hilfe von Niveauflächen veranschaulichen: für alle Punkte einer Niveaufläche hat die Funktion f einen konstanten Wert.

Ein Vektorfeld kann man mit Hilfe von Feldlinien darstellen: jeder vektorielle Wert der Funktion v ist an jedem Punkt in G tangential zur jeweiligen Feldlinie orientiert. Hat speziellerweise v überall in G denselben Wert, nennt man das zugehörige Feld homogen. Die Feldlinien sind dann zueinander parallele Geraden.

Macht man in einem skalaren Feld von einem Ort x aus einen kleinen Schritt zu irgendeinem dicht benachbarten Ort x+dx mit dx = (dx₁,dx₂,dx₃), so ändert sich der Wert der Funktion f dort um

df =  ∂f/∂x₁dx₁ + ∂f/∂x₂dx₂ + ∂f/∂x₃dx₃

wobei f hier als stetig differenzierbar vorausgesetzt wurde.

Die rechte Seite dieser Gleichung kann man als Skalarprodukt zweier Vektoren auffassen:

df = grad f • dx

Hierbei wird definiert:

grad f ist ein wohldefinierter Vektor, denn unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem ergibt sich durch die Formel  df = grad f • dx  immer dasselbe Resultat für df.

Bewegt man sich ein wenig entlang einer Niveaufläche, dann ist dx tangential zu dieser Fläche orientiert und es gilt df = 0. Also steht der Gradient von f senkrecht zur Niveaufläche und weist damit stets in die Richtung des größten Anstiegs von f. Der Betrag von grad f ist gerade diese Änderung von f pro Längeneinheit.

Für grad f gibt es eine abkürzende Schreibweise:

grad f = ∇f

Der hier verwendete Nabla-Operator

∇ = (∂/∂x₁, ∂/∂x₂, ∂/∂x₃)

ist ein symbolischer oder formaler Vektor, genauer gesagt: ein vektorieller Differentialoperator mit Invariantencharakter. Man kann (und muss) nachrechnen, dass sich die Komponenten von ∇ bei zulässigen Transformationen des verwendeten kartesischen Koordinatensystems sich genauso verhalten wie die Koordinaten x₁, x₂ und x₃.

∇f ist so etwas wie die multiplikative Verknüpfung von ∇ mit der skalaren Größe f.
Entsprechend gibt es die Möglichkeit, das Skalarprodukt bzw. das Vektorprodukt mit ∇ und einer Vektorfunktion v zu definieren:

Mit Hilfe der vorstehend definierten Begriffe und Schreibweisen lassen sich insbesondere die Maxwell-Gleichungen auf sehr elegante Weise formulieren.  Die von James Clerk Maxwell (1831−1879) aufgestellten Gleichungen beschreiben, wie elektrische und magnetische Felder miteinander zusammenhängen. Eine seiner insgesamt vier Gleichungen ist das Induktionsgesetz

rot E = − ∂B/∂t.

Diese Gleichung beschreibt, dass und auf welche Weise ein E-Feld entsteht, wenn sich ein B-Feld zeitlich ändert. Hierbei ist E die elektrische Feldstärke und B die magnetische Feldstärke (historisch: magnetische Flussdichte).

Eine weitere Gleichung lautet:

div B = 0.

Dies bedeutet, dass ein B-Feld stets quellenfrei ist, mit anderen Worten: es gibt keine magnetischen Monopole.